Benutzer:Kasparw

Riemannscher Umordungssatz

Basic-defs (Wiktor)

Beim Riemannschen Umordnungssatz betrachten wir eine Summe [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math], die eine bedingte konvergente Reihe ist, etwas genauer. Das heißt, die Reihe konvergiert gegen einen Grenzwert [math]S[/math] und es existiert eine Umordnung, die wir mit einer Permutation [math]\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} [/math] durchführen. Unter anderem kann man die einzelnen Komponenten durch die Permutation [math]\sigma[/math] so umordnen, sodass die Reihe [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}[/math] divergiert, also dass [math] S \in \{ -\infty, \infty\}[/math].

Bedingte und Unbedingte Konvergenz von Reihen (Jens)

Um den Riemannschen Umordnungssatz anwenden zu können, müssen wir zunächst verstehen für welche Art von Reihen dieser überhaupt gilt. Sei also [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine Reihe, so heißt diese absolut konvergent, falls gilt, dass:

[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} ||a_n|| [/math] ebenfalls konvergiert. (Dabei müssen die beiden Grenzwerte nicht zwingend übereinstimmen)

Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, falls der Grenzwert der Reihe unempfindlich gegenüber Umordnungen ist, was also bedeutet, dass [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] und [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}[/math] denselben Grenzwert besitzen , für jede beliebige Umordnung [math]\sigma[/math]

Somit erfüllen gerade die nicht unbedingt konvergenten Reihen, die Voraussetzungen für den Riemannschen Umordnungssatz.

Es stellt sich nun jedoch die Frage, wie man herausfindet ob eine Reihe unbedingt konvergiert oder nicht. Falls der normierte Raum (Vektorraum mit einer Norm), welcher der Reihe zugrundeliegt endlichdimensional ist, so sind die unbedingt konvergenten Reihen gleich den absolut konvergenten, was sich implizit aus dem Riemannschen Umordnungssatz folgern lässt.

Wichtig anzumerken ist, dass dies bei unendlichdimensionalen Vektorräumen nicht mehr der Fall ist. Betrachte hierfür "BEISPIEL???"

Motivation zum Satz (Kaspar):

Unendliche Reihen sind nicht kommutativ

Für endlichen Reihen ist klar das die umordnung der Summe nicht den Wert der Summe ändert: [math]a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_2 + a_1[/math].

Für Unendlichen Reihen gilt dies nicht. Umordung von Therme können den Wert den Summe ändern:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= X [/math]

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n} = a_2 + a_4 + a_6 + ...+ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n -1} = a_1 + a_3 + a_5 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= Y [/math]

Kein axiom sagt das X und Y gleich sind.

Der Beweis diese Aussage und die mathematische Idee werden auf diese Seite behandelt.

Riemannsche Umordnungssatzt:

Teil 1: Kommutative Unendliche Reihen:

Sei [math]S \in \mathbb{R} [/math] und [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine absolut konvergente Reihe.

Angenommen ist [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = S[/math]

Dann gilt: [math]\forall \mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion)

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Teil 2: Nicht Kommutative Unendliche Reihen:

Sei [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine bedingt konvergente Reihe.

Dann: [math]\forall S\in\mathbb{R}, \exists\mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion) so das:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Beweis:

Teil 1:

Sei [math]S \in \mathbb{R} [/math].

Sei [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine absolut konvergente Reihe so das [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = S[/math].

Behauptung zu beweisen: [math]\forall \mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion) [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Sei [math]\mathbf{\varepsilon}\gt 0 [/math]. Weil [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n [/math] konvergent ist gilt nach der Unendlichen Reihen Konvergenzkriterium das [math]\lim_{n \to \infty}a_n = 0 [/math]. Mathematisch ausgedruckt ergibt sich:

Hilfsmittel zum verstehen

[math]\forall\mathbf{\varepsilon}\gt 0, \exists n_0 \in\mathbb{N}, \forall n \in\mathbb{N}, n\gt n_0 \Rightarrow |a_n| \lt \mathbf{\varepsilon}[/math].

Dementsprechend: [math]\exists R \in\mathbb{N} [/math] so das: [math]\sum\limits_{n=R+1}^{\infty} |a_n| \lt \tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2} [/math] (siehe Bild)

Zunächst nehmen wir [math]P \ge R[/math] so das die Werte: [math]a_1, a_2,...a_r[/math] in [math]a_{\mathrm{\alpha}(1)},a_{\mathrm{\alpha}(2)},...a_{\mathrm{\alpha}(P)}[/math] Auftreten. Dies ist möglich da [math]\mathrm{\alpha}[/math] bijektiv ist.

Sei [math]p\ge P[/math]. Die Dreiecksungleichung liefert:

[math]|\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}-S|\le |\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)} -\sum\limits_{n=1}^{R} a_n|+|\sum\limits_{n=1} ^{R} a_n -S|[/math]

[math]\Rightarrow |\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}-S|\le |\sum\limits_{n=R+1}^{p}a_{\mathrm{\alpha}(n)}|+|\sum\limits_{n=R+1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}| [/math] (hier kürzt man die [math]R[/math] ersten Faktoren aus [math](a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/math] weil sie nach definition von [math]p[/math] in [math]\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}[/math] Auftreten)

[math]\Rightarrow |\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}-S|\le |\sum\limits_{n=R+1}^{\infty}a_{\mathrm{\alpha}(n)}|+|\sum\limits_{n=R+1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)}|\lt \tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2}+\tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2} =\mathbf{\varepsilon} [/math]

[math]\Rightarrow S-\mathbf{\varepsilon}\le\sum\limits_{n=1}^{p} a_{\mathrm{\alpha}(n)}\le S+\mathbf{\varepsilon}[/math]

[math]\Rightarrow S-\mathbf{\varepsilon}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)}\le S+\mathbf{\varepsilon}[/math]

[math]\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Teil 2 (für morgen)

Beispiele (Wiktor)

Als Beispiel hierfür nehmen wir uns die alternierende Harmonische Reihe.

Zur Erinnerung, diese ist wie folgt definiert:

[math] \\ \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}[/math]

Aus der Analysis I ist bereits bekannt, dass diese Reihe gegen

[math] \\ \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}=ln(2)[/math]

konvergiert, wobei diese nicht absolut konvergiert, da

[math]\sum _{{n=1}}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}\right|=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1n}[/math]

und bekannt ist, das die harmonische Reihe divergiert.

Nach dem Riemannschen Umordnungsatz, kann man nun die einzelnen Komponenten durch eine Permutation [math]\sigma [/math] umordnen.

Normalerweise gilt:

[math]1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2 [/math],

aber nach Anwendung der Permuation erhalten wir:

[math]1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots[/math]

Hier erkennt man, dass jede 3. Komponenten, angefangen bei [math] -\frac{1}{4}[/math], in dem Nenner ein Vielfaches von [math]4[/math] ist. Das gleiche Muster erkennt man angefangen bei [math] -\frac{1}{2}[/math] mit dem Unterschied, dass vom Nenner immer 2 abgezogen werden. Davon unterscheidet sich die 3er-Blöcke angefangen bei der 1, da im Nenner immer ungerade Zahlen, also [math]2n-1, n \in \mathbb{N}[/math] ist. Trägt man alle diese Beobachtungen zusammen erhält man:

[math]{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2(2n-1)}}-{\frac {1}{4n}},\quad n \in \mathbb{N}[/math]

Formt man diesen Ausdruck etwas um, erhalten wir:

[math] {\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2(2n-1)}}-{\frac {1}{4n}}={\frac {2-1}{2(2n-1)}}-{\frac {1}{2\cdot 2n}} \\={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right) = {\frac {1}{2}} \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}} = {\frac {1}{2}} ln(2)[/math]

Somit haben wir einen neuen Grenzwert [math] S [/math] durch den Riemannschen Umordnungsatz

Verallgemeinerung (Steinitzscher Umordnungssatz) (Jens)

Wir brauchen zunächst Zusatzwissen:

Sei [math]V[/math] ein [math]\mathbb{R}-Vektorraum[/math], dann ist ein Funktional T ein Abbildung [math]T: V -> R[/math].

Ein solches Funktional ist linear, falls es sich um eine lineare Abbildung handelt.

Ein lineares Funktional U heißt Konvergenzfunktional für die Folge [math](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/math], falls [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} |U(a_n)|[/math] konvergiert.

Die linearen Funktionale von [math]V[/math] bilden einen neuen [math]\mathbb{R}-Vektorraum[/math], den sogenannten Dualraum.

Die Konvergenzfunktionale für eine feste Folge [math](a_n)_{n \in mathbb{N}}[/math] bilden einen Untervektorraum im Vektorraum der linearen Funktionale.

Man bezeichnet diesen Untervektorraum der Konvergenzfunktionale einer Folge [math](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/math] mit: [math]\Gamma((a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/math]

Als Annulatorraum dieses Untervektorraums bezeichnet man die Menge: [math]\Gamma((a_n)_{n \in \mathbb{N}})^0:= \{\phi \in V**|\phi(f) = 0 ~ \forall f \in \Gamma((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\}[/math]

Der Satz

Sei [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine konvergente Reihe, dann gilt:

[math]\{\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} | \sigma~ist~konvergente~Umordnung\}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n + \Gamma((a_n)_{n \in \mathbb{N}})^0[/math]