Berechnung von Homologie via Smith Normalform

Einleitung

Dieser Artikel erklärt, wie mithilfe der Smith Normalform die Homologie eines Komplexes berechnet werden kann. Die Homologie von Komplexen spielt zum Beispiel in algebraischer Topologie oder homologischer Algebra eine wichtige Rolle. Die algebraische Topologie untersucht die simpliziale Homolgie eines topologischen Raums. Die homologische Algebra konstruiert abgeleitete Funktoren mithilfe von Komplexen und Homologien. Beide Konstruktionen beinhalten Informationen über die jeweiligen Objekte, daher ist es wichtig die Homologie eines konkreten Komplexes berechnen zu können.

Smith Normalform

Sei [math]R[/math] ein Hauptidealring. Die Smith Normalform einer nicht notwendig quadratischen Matrix [math] M [/math] über [math] R [/math] ist eine Matrix

[math] S = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \dots& & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & & & 0 & & & 0 \\ \vdots & & \ddots & &\vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \alpha_{r-1} & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha_r & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & & & & & & \ddots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}, [/math]

wobei [math] \alpha_i \neq 0 [/math] zusammen mit invertierbare Matrizen [math] U,V [/math] für die

[math] S = UMV [/math]

gilt. Man nennt die [math] \alpha_i [/math] die Elementarteiler von [math] M [/math]. Es ist Aufgabe der Linearen Algebra Vorlesung, die Existenz und Eindeutigkeit der Elementarteiler [math] \alpha_i [/math] bis auf Multiplikation mit Einheiten des Rings [math] R [/math] einer solchen Smith Normalform über Hauptidealringen im Allgemeinen zu zeigen und es sei hier nur darauf verwiesen.

Was ist Homologie?

Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen [math]\operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.

Die Homologiegruppen

Komplex

Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von [math]R[/math]-Moduln [math](A_n)_{n \in \mathbb{Z}}[/math] zusammen mit [math]R[/math]-linearen Übergangsabbildungen [math](d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}[/math], sodass

[math]d_n \circ d_{n+1} = 0[/math]

für jedes [math]n \in \mathbb{Z}[/math] gilt. Anders formuliert ist ein Komplex also ein Diagramm

[math]... \xrightarrow{\; d_{n+2} \;} A_{n+1} \xrightarrow{\; d_{n+1} \;} A_n \xrightarrow{\; d_n \;} A_{n-1} \xrightarrow{\; d_{n-1} \;} ...[/math]

von [math]R[/math]-Modulhomomorphismen, wobei zusätzlich

[math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq \operatorname{ker}(d_n)[/math]

für alle Homomorphismen des Diagramms gilt. Oft notieren wir einen Komplex durch [math]A_\bullet[/math], d.h. wir lassen die Übergangsmorphismen weg, wenn sie aus dem Kontext klar sind.

Homologie

Nun können wir die Homologie eines Komplexes einführen. Sei [math]A_{\bullet}[/math] ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln. Die [math]n[/math]-te Homologie von [math]A_{\bullet}[/math] ist

[math] \operatorname{H}_n(A_{\bullet}) := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math].

Sie ist wohldefiniert, da laut Definition [math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq\operatorname{ker}(d_n)[/math] gilt. Die Homologie ist eine wichtige Invariante von Komplexen, da die [math]n[/math]-te Homologie angibt wie weit der Komplex davon abweicht, dass

[math]\operatorname{ker}(d_n) = \operatorname{im}(d_{n+1})[/math]

gilt. In diesem Fall sagt man, dass der Komplex an der [math]n[/math]-ten Stelle exakt ist. Die Homologie gibt also an wie stark der Komplex davon abweicht exakt zu sein.

Berechnung von Homologie via Smith Normalform

Es sei [math]...\rightarrow R^i\xrightarrow{A} R^j \xrightarrow{B} R^k \rightarrow ...[/math] ein Komplex freier [math]R[/math]-moduln mit Dimensionen [math]i[/math], [math]j[/math], [math]k[/math]. Wir identifizieren hier die Abbildungen [math]A[/math] und [math]B[/math] mit deren Matrixdarstellungen bezüglich der kanonischen Basen. Die Homologie am mittleren Term des Komplexes kann nun anhanden der Smith Normalform von [math]A[/math] beschrieben werden. Es sei [math]a = \operatorname{rank}(A)[/math] und [math]b = \operatorname{rank}(B)[/math], dann gilt

[math]\operatorname{ker}(B)/\operatorname{im}(A)\cong R^{j-a-b}\oplus\bigoplus_{l = 1}^{a} R/\alpha_l R [/math],

wobei [math]\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_a[/math] die Elementarteiler von [math]A[/math] sind. Der Beweis ist recht elementar und kann hier nachgelesen werden.

Beispiel

Zur Veranschaulichung wählen wir [math] R = \mathbb{Z} [/math] und als Komplex wählen wir

[math] \dots \rightarrow \mathbb{Z}^3 \xrightarrow{A} \mathbb{Z}^4 \xrightarrow{B} \mathbb{Z}^3 \rightarrow \dots, [/math]

mit

[math] A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} [/math]

und

[math] B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. [/math]

Man sieht sofort, dass [math] BA = 0 [/math] gilt und mit dem in der linearen Algebra vermittelten Algorithmus zur Berechnung der Smith Normalform ergibt sich für die Smith Normalformen von [math] A [/math]:

[math] S_A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} [/math]

Damit gilt für [math] \operatorname{rank}(A) = 2 [/math] und [math] \operatorname{rank}(B) = 1 [/math] und schließlich mittels des obigen Resultates ist die Homologie an der mittleren Stelle gegeben als

[math] \operatorname{H} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. [/math]

Autoren

Iason Papadopoulos, Frederik Gebert, Simon Schneider