PageRank-Algorithmus

Es gibt mehrere Milliarden Websites im Internet und doch erscheint, wenn wir bei Google beispielsweise nach "Fun Facts Heidelberg" suchen, die Vorlesungsseite in verschiedenen Browsern unter den ersten zehn. Das liegt daran, dass der Suchbegriff auf einigen der Seiten keine so große Rolle spielt. Man wird feststellen, dass die ersten Ergebnisse die relevantesten sind. Aber wie schafft es die Suchmaschine die Seiten so zu sortieren? Dort kommt der PageRank-Algorithmus ins Spiel, welcher die Seiten über die Anzahl an Links mit Hilfe von linearer Algebra nach ihrer Wichtigkeit sortiert.

Hyperlink-Übergangsmatrix

Die Hyperlink-Matrix ist einer Adjazenzmatrix (siehe auch IPI, Übungsblatt 9, Aufgabe 1) ähnlich. Während bei der Adjazenzmatrix der Eintrag immer gleich eins ist, wenn der entsprechende Knoten von dem Anfangsknoten erreicht werden kann, hallo neueshallo

Prinzip des PageRank-Algorithmus

Eine Website ist umso wichtiger, um so mehr Links von wichtigen Websites auf sie verweisen. Dies soll jetzt in einer Zahl ausgedrückt werden. Sei also [math]a[/math] eine Website mit PageRank [math]R(a)[/math], für eine beliebige Seite [math]x[/math] sei [math]L(x)[/math] die Anzahl der (verschiedenen) Links, die auf [math]x[/math] vorkommen. Sei zudem [math]B_a[/math] die Menge der Websites, die einen Link zu [math]a[/math] besitzen. Dann lässt wird der Grundgedanke von PageRank durch die folgende Formel ausgedrücken:

[math]R(a) = \sum_{x \in B_a} \frac{R(x)}{L(x)} [/math].

(Würde man nicht durch [math]L(x)[/math] teilen, sondern einfach die Summe der Ranks der Seiten in [math]B_a[/math] betrachten, so würden Seiten mit sehr vielen Links viel stärker ins Gewicht fallen als etwa Seiten mit nur einem Link darauf.) Offenbar handelt es sich um eine Art rekursive Definition: Man muss zur Berechnung eines PageRanks die PageRanks anderer Websites kennen. Es bleibt also nichts, als alle diese Gleichungen simultan zu lösen (LGS!). Wir versuchen also diese Gleichungen in LA-Sprache zu übersetzen, wobei wir von der Matrix aus dem vorigen Abschnitt Gebrauch machen.

Sei nun [math]w[/math] der Spaltenvektor mit den PageRanks-Werten der einzelnen Websites ([math]i[/math]-ter Eintrag für die [math]i[/math]-te Website). Man kann sich anhand der Definition des Matrixprodukts leicht überlegen, dass [math]Hw = w[/math] äquivalent zu obigem LGS ist. (Näher ausführen?) Diese Art von Gleichung ist sehr vertraut: wir haben es mit einem Eigenvektorproblem zu tun! An dieser Stelle ist natürlich wichtig, wieso 1 überhaupt ein Eigenwert ist (nur dann gibt es eine nicht-triviale Lösung!) und dass es nur einen Vektor [math]w[/math] gibt, bei dem die Summe der Einträge 1 ergibt. Dessen Einträge ergeben die gesuchten Ranks.

Todo:

• es gibt keine EW > 1
• iterative Berechnung von Vektor w -> alle Pageranks
• dann: Interpretation mit Markow, Pagerank als stationäre Verteilung

Vektoriteration

Betrachtet man eine diagonalisierbare Matrix A, so gibt es eine Basis aus den Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten. Betrachte nun die Eigenwerte und sortiere sie nach der Größe des Betrags, sodass gilt [math] |λ_{1}|\gt |λ_{2}|\geq ... \geq |λ_{n}| [/math].Nun wählen wir einen Startvektor und erhalten eine Folge [math] (v^{(i)}) [/math], die durch sukzessives Anwenden von A definiert ist. Es gilt: [math] v^ {(i+1)} = Av^ {(i)} [/math]. Diese Folge konvergiert bei geeigneter Wahl von dem Startvektor gegen einen Eigenvektor v der Matrix A zum Eigenwert [math] λ_{1} [/math]. Falls also k groß genug ist, gilt: [math]Av^{(k)} \approx λ_{1}v^{(k)} [/math].

Quellen und weiterführende Links

• https://homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/Lehre/aussermathAnw/Google.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank
• https://de.wikipedia.org/wiki/Google-Matrix
• Arens, T. (et al.): Mathematik, Springer 2008