PageRank-Algorithmus

Es gibt mehrere Milliarden Websites im Internet und doch erscheint, wenn wir bei Google beispielsweise nach "Fun Facts Heidelberg" suchen, die Vorlesungsseite in verschiedenen Browsern unter den ersten zehn. Das liegt daran, dass der Suchbegriff auf einigen der Seiten keine so große Rolle spielt. Man wird feststellen, dass die ersten Ergebnisse die relevantesten sind. Aber wie schafft es die Suchmaschine die Seiten so zu sortieren? Dort kommt der PageRank-Algorithmus ins Spiel, welcher die Seiten über die Anzahl an Links mit Hilfe von linearer Algebra nach ihrer Wichtigkeit sortiert.

Hyperlink-Übergangsmatrix

Die Hyperlink-Matrix ist einer Adjazenzmatrix (siehe auch IPI, Übungsblatt 9, Aufgabe 1) ähnlich. Während bei der Adjazenzmatrix der Eintrag immer gleich eins ist, wenn der entsprechende Knoten von dem Anfangsknoten erreicht werden kann, muss bei der Hyperlink-Matrix noch eine Änderung vorgenommen werden. Da die gesuchten Ranks die Wahrscheinlichkeiten mit welchen man auf den jeweiligen Websites landet angeben, müssen die Einträge so angepasst werden, dass sie zusammen maximal eins (also 100%) ergeben. Sei nun [math]H[/math] unsere Hyperlinkmatrix [math]n[/math] die Anzahl der Links, die von der betrachteten Website auf andere Websites verweisen. Der Eintrag an der Stelle [math]h_{ij}[/math] ist dann also wie folgt:

[math]h_{ij}=\begin{cases} 1/n \text{, falls unsere Seite einen Link auf die entsprechende Seite besitzt}\\ 0 \text{ sonst} \end{cases} [/math]

Diagonale keine Einträge

Prinzip des PageRank-Algorithmus

Eine Website ist umso wichtiger, um so mehr Links von wichtigen Websites auf sie verweisen. Dies soll jetzt in einer Zahl ausgedrückt werden. Sei also [math]a[/math] eine Website mit PageRank [math]R(a)[/math], für eine beliebige Seite [math]x[/math] sei [math]L(x)[/math] die Anzahl der (verschiedenen) Links, die auf [math]x[/math] vorkommen. Sei zudem [math]B_a[/math] die Menge der Websites, die einen Link zu [math]a[/math] besitzen. Dann lässt wird der Grundgedanke von PageRank durch die folgende Formel ausgedrücken:

[math]R(a) = \sum_{x \in B_a} \frac{R(x)}{L(x)} [/math].

(Würde man nicht durch [math]L(x)[/math] teilen, sondern einfach die Summe der Ranks der Seiten in [math]B_a[/math] betrachten, so würden Seiten mit sehr vielen Links viel stärker ins Gewicht fallen als etwa Seiten mit nur einem Link darauf.) Offenbar handelt es sich um eine Art rekursive Definition: Man muss zur Berechnung eines PageRanks die PageRanks anderer Websites kennen. Es bleibt also nichts, als alle diese Gleichungen simultan zu lösen (LGS!). Wir versuchen also diese Gleichungen in LA-Sprache zu übersetzen, wobei wir von der Matrix aus dem vorigen Abschnitt Gebrauch machen (TODO!).

Todo:

• -> Aw = w in Matrix-Sprache -> Eigenwertproblem
• es gibt keine EW > 1
• iterative Berechnung von Vektor w -> alle Pageranks
• dann: Interpretation mit Markow, Pagerank als stationäre Verteilung

hallihallo

[math]\begin{cases} xyz\\ abc \end{cases} [/math]

Vektoriteration

Betrachtet man eine diagonalisierbare Matrix A, so gibt es eine Basis aus den Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten. Betrachte nun die Eigenwerte und sortiere sie nach der Größe des Betrags, sodass gilt [math] |λ_{1}|\gt |λ_{2}|\geq ... \geq |λ_{n}| [/math].Nun wählen wir einen Startvektor und erhalten eine Folge [math] (v^{(i)}) [/math], die durch sukzessives Anwenden von A definiert ist. Es gilt: [math] v^ {(i+1)} = Av^ {(i)} [/math]. Diese Folge konvergiert bei geeigneter Wahl von dem Startvektor gegen einen Eigenvektor v der Matrix A zum Eigenwert [math] λ_{1} [/math]. Falls also k groß genug ist, gilt: [math]Av^{(k)} \approx λ_{1}v^{(k)} [/math].

Quellen und weiterführende Links

• https://homepage.univie.ac.at/Franz.Embacher/Lehre/aussermathAnw/Google.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank
• https://de.wikipedia.org/wiki/Google-Matrix
• Arens, T. (et al.): Mathematik, Springer 2008