Benutzer:Kasparw

Riemannsche Umordungssatz

Motivation zum Satz (Kaspar):

Unendliche Reihen sind nicht kommutativ

Für endlichen Reihen ist klar das die umordnung der Summe nicht den Wert der Summe ändert: [math]a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_2 + a_1[/math].

Für Unendlichen Reihen gilt dies nicht. Umordung von Therme können den Wert den Summe ändern:

[math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= X [/math]

[math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{2n} = a_2 + a_4 + a_6 + ...+ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{2n -1} = a_1 + a_3 + a_5 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= Y [/math]

Kein axiom sagt das X und Y gleich sind.

Der Beweis diese Aussage und die mathematische Idee werden auf diese Seite behandelt.

Riemannsche Umordnungssatzt:

Teil 1: Kommutative Unendliche Reihen: Für [math]S \in \mathbb{R} [/math] endl

Sei [math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n[/math] eine absolut konvergente Reihe.

Angenommen ist [math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n = S[/math]

Dann gilt: [math]\forall \mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion)

[math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Teil 2: Nicht Kommutative Unendliche Reihen:

Sei [math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n[/math] eine bedingt konvergente Reihe.

Dann: [math]\forall S\in\mathbb{R}, \exists\mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion) so das:

[math] \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]