Cantor-Menge

Geometrische Darstellung

Man konstruiert die Cantormenge rekursiv, indem man vom Intervall [0, 1] das mittlere offene Drittel (1/3, 2/3) entfernt, aus den beiden verbleibenden Intervallen [0, 1/3] und [2/3, 1] jeweils deren mittleren offenen Drittel entfernt und diesen Prozess unendlich fortsetzt.

Folgendes Bild veranschaulicht den Prozess.

Genauer gilt: Setze C := [0, 1] \ U n=1 ∞ Un ⊂ [0, 1] mit U1 := (1/3, 2/3) und Un+1 := {x/3 , (x + 2)/3 : x ∈ Un}, n ≥ 1.

Cantorfunktion

Mit Hilfe der Cantormenge kann man rekursiv die sogenannte Cantorfunktion (auch “Teufelstreppe”) definieren. Sei f: [0,1] -> [0,1] mit f(0) = 0 und f(1) = 1. Sei x in [0,1], dann erhalte f(x) durch die folgenden Schritte:

• Drücke x in Basis 3 aus.
• Wenn x eine 1 enthält, ersetze jede Ziffer streng nach der ersten 1 durch 0.
• Ersetze alle verbleibenden 2s durch 1s.
• Interpretiere das Ergebnis als Binärzahl.

Der Graph der Funktion ist durch folgendes Bild veranschaulicht.

f ist monoton steigend und in allen Punkten x  ∈  [0, 1] \ C differenzierbar mit Ableitung gleich 0. In 0, 1 und den Randpunkten der entfernten Drittelintervalle ist f nicht differenzierbar. Sie steht in Bezug mit einer besonderen Wahrscheinlichkeitsverteilung.