Cantor-Menge

Der Weg zur Cantormenge/Georg Cantor

1884 veröffentlicht Cantor sein Werk Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten (VI). Im Paragraph § 19 beschäftigt er sich mit perfekten Teilmengen von ℝ. Hierzu verwendet er die Cantormenge und zeigt, dass jede beschränkte nichtleere perfekte Teilmenge von ℝ, die keine nichttrivialen Intervalle enthält, ähnlich ist zur Cantormenge C.

Geometrische Darstellung

Man konstruiert die Cantormenge rekursiv, indem man vom Intervall [0, 1] das mittlere offene Drittel (1/3, 2/3) entfernt, aus den beiden verbleibenden Intervallen [0, 1/3] und [2/3, 1] jeweils deren mittleren offenen Drittel entfernt und diesen Prozess unendlich fortsetzt.

Folgendes Bild veranschaulicht den Prozess.

Genauer gilt: Setze C := [0, 1] \ \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda ⊂ [0, 1] mit U1 := (1/3, 2/3) und Un+1 := {x/3 , (x + 2)/3 : x ∈ Un}, n ≥ 1.

Cantorfunktion

Mit Hilfe der Cantormenge kann man rekursiv die sogenannte Cantorfunktion (auch “Teufelstreppe”) definieren. Sei f: [0,1] -> [0,1] mit f(0) = 0 und f(1) = 1. Sei x in [0,1], dann erhalte f(x) durch die folgenden Schritte:

• Drücke x in Basis 3 aus.
• Wenn x eine 1 enthält, ersetze jede Ziffer streng nach der ersten 1 durch 0.
• Ersetze alle verbleibenden 2s durch 1s.
• Interpretiere das Ergebnis als Binärzahl.

Der Graph der Funktion ist durch folgendes Bild veranschaulicht.

f ist monoton steigend und in allen Punkten x  ∈  [0, 1] \ C differenzierbar mit Ableitung gleich 0. In 0, 1 und den Randpunkten der entfernten Drittelintervalle ist f nicht differenzierbar.

Sie steht in Bezug mit einer besonderen Wahrscheinlichkeitsverteilung.