Goldener Schnitt

Der "Goldene Schnitt" bezeichnet allgemein ein spezielles Teilungsverhältnis einer Strecke.

Die Besonderheit dieses Verhältnisses besteht darin, die Gesamtstrecke in zwei Teile aufzuteilen, wobei die Gesamtstrecke dasselbe Teilungsverhältnis zur größeren Teilstrecke aufweist, wie auch die größere Teilstrecke (Major) zur kleineren Teilstrecke (Minor).

Proportionen des Goldenen Schnitts

Den Quotient der Strecken nennt man die Goldene Zahl [math]\Phi[/math].

Herleitung des Goldenen Schnitts

Die obige Definition lässt sich algebraisch ausdrücken und wie folgt eindeutig lösen:

[math] \Phi = \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} = 1+\frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\Phi}\\\\ [/math]

[math]   \Leftrightarrow  \Phi^{2}   =   \Phi + 1 \\\\ [/math]

[math]   \Leftrightarrow  0 = \Phi^{2} - \Phi - 1 \\\\ [/math]

[math] \Rightarrow \Phi_{1} =  \frac{1+\sqrt[]{5}}{2}  \approx  1,618 = \Phi \\ [/math]

[math] \Rightarrow \Phi_{2} = \frac{1-\sqrt[]{5}}{2} \approx 0,618 = \varphi[/math]

Wir nennen [math] \Phi [/math] die Goldene Zahl und [math] \varphi [/math] den Goldenen Schnitt, für die gilt: [math] \frac{1}{\Phi} = \Phi - 1 = \varphi[/math]

[math]\Phi[/math] als "irrationalste" Zahl

Allgemein gibt es keine irrationale Zahl die "irrationaler" als eine andere irrationale Zahl ist. [math]\Phi[/math] lässt sich nur sehr "langsam" durch rationale Zahlen annähern, daher die meist scherzhafte Aussage [math]\Phi[/math] sei die "irrationalste" Zahl.

Kettenbruchdarstellung

Um die Annäherung durch rationale Zahlen vorzunehmen, stellt man die Zahl als unendlichen Kettenbruch dar und bricht diesen an einer Stelle ab. Je später, desto genauer die Annäherung. (mehr )

[math]   \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}}}} \quad ... [/math]

Wir sehen nun, dass der Kettenbruch von [math]\Phi[/math] nur Einsen als Elemente enthält, woraus sich wiederum folgern lässt, dass der Nenner der Näherung durch rationale Zahlen so langsam wie nur möglich wächst und sich somit eine möglichst genaue Approximation nur schlecht durchzuführen ist.

Daher die Aussage [math]\Phi[/math] sei die irrationalste nur mögliche Zahl.

Sehr interessant ist hierbei, dass der Näherungsbruch immer aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen besteht!

Annäherung durch Kettenbruchverfahren

Abbruch nach n Elementen	1	2	3	4	5	6	7	8	[math]\vdots[/math]	Die rekursive Bildungsformel lautet: [math] \frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{p_{n-1} + q_{n-1}}{p_{n-1}} [/math] mit [math] p_{0}, q_{0} = 1 [/math]
Näherungswert	2	[math] \frac{3}{2} [/math]	[math] \frac{5}{3} [/math]	[math] \frac{8}{5} [/math]	[math] \frac{13}{8} [/math]	[math] \frac{21}{13} [/math]	[math] \frac{34}{21} [/math]	[math] \frac{55}{34} [/math]
Abweichung von [math] \Phi [/math] in %	23,6	7,3	3	1,1	0,43	0,16	0,062	0,024

Kettenwurzeldarstellung

Alternativ lässt sich [math]\Phi[/math] auch durch eine unendliche Kettenwurzel nähern, dies folgt aus [math]\Phi^{2} = \Phi + 1[/math]

[math] \Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}} [/math]

Geometrische Konstruktion von [math]\Phi[/math]

Unterschieden wird die geometrische Konstruktion in innere und äußere Teilung. Die innere Teilung teilt eine gegebene Strecke im goldenen Schnitt, wohingegen die äußere Teilung zu einer gegebenen Strecke eine weitere außerhalb liegende Strecke konstruiert, sodass die Beiden im goldenen Verhältnis zueinander stehen.

Innere Teilung

"klassische Methode" zur inneren Teilung: Gegeben sei eine beliebige Länge [math] \overline{AB}[/math]. Die Strecke [math] \overline{BC}[/math] steht senkrecht zu [math] \overline{AB}[/math] im Punkt B und hat die Länge [math] \frac{\overline{AB}}{2}[/math]. Der Kreis um C mit Radius [math] \overline{BC}[/math] schneidet die Strecke [math] \overline{AC}[/math] im Punkt D. Der Kreis um A mit Radius [math] \overline{AD}[/math] teilt die Strecke [math] \overline{AB}[/math] im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Beweis [math]    \begin{align*} &a = \overline{AS}\\ &b = \overline{BS}\\\\ &k = a+b\\         &k^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2  = \left( a+ \frac{k}{2} \right)^2\\         &\Leftrightarrow k^2+\frac{k^2}{4} = a^2 + ak+ \frac{k^2}{4} | \text{ ersetze k durch a+b} \\         &\Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + a^2 + ab\\         &\Leftrightarrow b^2 + ab = a^2 \     \end{align*}    [/math]

Methode nach Euklid: Gegeben sei eine beliebige Länge [math] \overline{AB}[/math]. Die Strecke [math] \overline{BC}[/math] steht senkrecht zu [math] \overline{AB}[/math] im Punkt B und hat die Länge [math] \frac{\overline{AB}}{2}[/math]. Der Kreis um D mit Radius [math] \overline{AD}[/math] ergibt Punkt E, welche auf der Verlängerung der Strecke [math] \overline{BD}[/math] liegt. Der Kreis um B mit Radius [math] \overline{BE}[/math] teilt die Strecke [math] \overline{AB}[/math] im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Äußere Teilung

"klassische Methode" zur äußeren Teilung: Gegeben ist eine Strecke [math] \overline{AB}[/math]. Die Strecke [math] \overline{BC}[/math] hat die gleiche Länge wie [math] \overline{AB}[/math] und steht senkrecht auf Punkt B. Der Punkt teilt Strecke [math] \overline{AB}[/math] in der Hälfte. Der Kreis um Punkt H mit Radius [math] \overline{BC}[/math] schneidet die Verlängerung von [math] \overline{AB}[/math] im Punkt M. Punkt B teilt nun die Strecke [math] \overline{AM}[/math] im goldenen Schnitt. Beweis     \begin{align*} &\Rightarrow \overline{CM} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2} = \sqrt{\frac{5 a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}}a\\     &\Rightarrow k = a + b = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}a=  a + \sqrt{\frac{5}{4}} a - \frac{a}{2}a \\     &\Rightarrow \Phi =\frac{a}{b} \hat{=} \frac{a}{\sqrt{\frac{5}{4}}a-\frac{a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}} =1,61803... = \Phi \end{align*}

Methode nach George Odom: Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit Umkreis. Teilt man nun zwei Seiten des Dreiecks in der Mitte und verbindet die Punkte (A, B) so ergibt die Verlängerung von [math] \overline{AB}[/math] einen Schnittpunkt S mit dem Umkreis. Punkt B teilt nun die Strecke [math] \overline{AS}[/math] im goldenen Schnitt.

Goldene Geometrie

Goldenes Rechteck

Goldenes Rechteck

Unter einem Goldenen Rechteck verstehen wir das Rechteck mit dem Seitenverhältnis des Goldenen Schnittes. Das bedeutet die Seiten a und b stehen im Verhältnis [math] \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} \\ [/math].

Konstruiert wird das Goldene Rechtecks durch eine abgewandelte Form der Konstruktion. Durch die innere Konstruktion findet man den Punkt der die Strecke im Goldenen Schnitt teilt. Nun ist die längere Teilstrecke, im Bild die Strecke a, die Höhe des Rechtecks und wir können es vervollständigen.

Eine Besonderheit des Goldenen Rechtecks ist, dass man immer ein Goldenes Rechteck erhält wenn man von einem Goldenen Rechteck ein größtmögliches Quadrat abschneidet. In dem Bild gibt also das kleinere rote Rechteckt wieder ein Goldenes Rechteck. Dies kann beliebig oft wiederholt werden.

Goldene Spirale

Goldene Spirale

Wenn wir ein Goldenes Rechteck in ein größtmögliches Quadrat und ein kleineres Goldenes Rechteck einteilen und dies bei dem kleineren wiederholen und immer bei dem kleineren Rechteck so machen, entsteht eine endlose Folge. Zeichnen wir jetzt ,in die Quadrate, in geeigneter Weise Viertelkreise ein, entsteht eine Spirale, die eine gute Approximation der logarithmischen Spirale ist. Der Mittelpunkt der Spirale liegt auf dem Schnittpunkt der Diagonalen des ersten und des zweiten Goldenen Rechtecks. Besonders ist auch der Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge, da die Radien der Kreissektoren genau der Folge entspricht.

Goldene Dreiecke

Goldene Dreiecke

Es gibt zwei unterschiedliche Arten des Goldenes Dreiecks, ein spitzes (erster Art) und ein stumpfes (zweiter Art). Beides sind gleichschenklige Dreiecke, bei denen ein Schenkel zur Grundseite im Goldenen Schnitt steht.

Beim Goldenen Dreieck erster Art, bilden die Schenkel die Majoren, also die längere Teilstrecke, und die Grundseite ist der Minor. Die beiden Winkel die an die Grundseite grenzen haben 72° und der dritte 36°. Das Goldene Dreieck zweiter Art hat zwei Minoren, die Schenkel, und die Basiswinkel haben jeweils 36° während der dritte Winkel 108° hat.

Herleitung: Mit [math]\frac{k}{a}=\Phi[/math] können wir auch die Winkel im Dreieck berechnen:

[math] \begin{align*}     \cos(\alpha) &= \frac{\frac{a}{2}}{k} = \frac{a}{2k} = \frac{1}{2\Phi}\\     \Leftrightarrow \alpha &= 72°\\ \end{align*} [/math]

Damit bekommen wir:

[math] \begin{align*}     180° - 90° - 72° = 18° \rightarrow \beta &= 36° \\     \text{oder:}\quad \beta = \quad 2 \sin\left(\frac{1}{2\Phi}\right) &= 36° \end{align*} [/math]

Im stumpfwinkligen Dreieck bekommen wir noch einen Winkel: [math]180° - 2 \cdot 36° = 108°[/math]

Insbesondere können wir vom Goldenen Dreieck erster Art ein größtmögliches Goldenes Dreieck zweiter Art abschneiden und zurück bleibt ein Goldenes Dreieck erster Art.

Konstruktion goldener Schnitt mit innerer und äußeren Teilung

Es gibt bei der Konstruktion des goldenen Schnitts stehts zwei Möglichkeiten daran zu gehen. Es gibt Varianten, die sich mit dem inneren und welche die sich mit dem äußeren Verhältnis beschäftigen. Innere Varianten nehmen eine Stecke und teilen diese im goldenen Schnitt. Die äußeren Varianten konstruieren zu einer gegebenen Strecke a eine Teilstrecke b, sodass die beiden im goldenen Verhältnis zueinander stehen. Die einfachste Konstruktion des goldenen Schnittes ist über ein Dreieck. Man zeichne zuerst die Grundseite k ([math]\overline{AB}[/math]) und teilt diese in der Hälfte. Wir bekommen nun 2 Strecken mit der Länge k/2. Als nächstes zeichnen wir orthogonal zu B eine Strecke mit der Länge k/2 ([math]\overline{BC}[/math]) und vervollständigen das Dreicek. Als nächstes konstruieren wir einen Kreis (L) um C herum mit dem Radius k/2. Zum Schluss zeichnen wir um A einen Kreis(M), der vom Radius den Schnittpunkt von dem Kreis L mit [math]\overline{AC}[/math] besitzt bzw. [math]r_M= \overline{AC}-k/2[/math]. Der Schnittpunkt des Kreises M und [math]\overline{AB}[/math] teilt die Strecke [math]\overline{AB}[/math] im goldenen Verhältnis. Wir wissen: [math] \frac{a}{b}= \phi [/math]. Beweis:

[math]    \begin{align*} k &=a+b\\         k^2+\left( \frac{k}{2}\right)^2  &= \left( a+ \frac{k}{2} \right)^2\\         \Leftrightarrow k^2+\frac{k^2}{4} &= a^2 + ak+ \frac{k^2}{4}| \text{ersetze k durch a+b} \\         \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 &= a^2 + a^2 + ab\\         \Leftrightarrow b^2 + ab &= a^2 \     \end{align*}    [/math]

(Ist gleich der Gleichung des goldenen Schnitts) mit inneren Teilung konstruiert.

Desweiteren können wir auch das Verhältnis des goldenen Schnitts durch äußere Teilung bekommen.

Zunächst zeichnen wir eine Stecke [math]\overline{AB}[/math] mit der Länge a. Am Punkt B zeichnen wir orthogonal eine Strecke [math]\overline{BC}[/math] auch mit der Länge a. Nun wird der Punkt C mit dem Mittelpunkt M von [math]\overline{AB}[/math] verbunden. [math]\overline{CM}[/math] bildet den Radius eines Kreises. [math]\overline{AB}[/math] wird in Richtung des Kreises verlängert zum Punkt D. [math]\overline{BD}[/math] bildet unser b. Auch hier gilt wieder [math]\frac{a}{b}= \Phi[/math]

Beweis: Wir wissen, dass [math]\overline{AB} = \overline{BC}=a[/math] und [math]\overline{AM}=\frac{a}{2}[/math] und k = a + b mit [math]\frac{a}{b}= \Phi[/math]

[math] \begin{align*}     \Rightarrow \overline{CM} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2} = \sqrt{\frac{5 a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}}a\\     \Rightarrow k = a + b = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}a=  a + \sqrt{\frac{5}{4}} a - \frac{a}{2}a \\     \Rightarrow \Phi =\frac{a}{b} \hat{=} \frac{a}{\sqrt{\frac{5}{4}}a-\frac{a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}} =1,61803... = \Phi \end{align*} [/math]

Goldener Winkel

Goldener Winkel

Man betrachtet einen Kreis und teilt ihn in 2 Segmente, so dass der Teilumfang a und  b im goldenen Schnitt stehen. Dabei ergibt sich der Goldene Winkel indem man den Vollwinkel im goldenen Schnitt teilt [math]\frac{2 \pi}{\Phi}  \approx 222,5°[/math]. Üblicherweise wird allerdings nicht der überstumpfe Winkel, sondern seine Ergänzung zum Vollkreis als Goldener Winkel bezeichnet [math]2\pi - \frac{2 \pi}{\Phi} \approx 137,5° = \Psi [/math].

Blattstand

Interessant ist das Vorkommen des Goldenen Winkels in der Natur. Beispielsweise die Kerne einer Sonnenblume ergeben rechts- und linksdrehende Spiralen, welche wenn man sie zählt zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen geben. Außerdem ergeben sich bei der Sonnenblume die vorher aufgezeigten Spiralen durch die Umkreisung eines Strahls um einen Punkt im Goldenen Winkel.

Bei Pflanzen ist die Anordnung von Blättern entlang ihres Stängels oft im Goldenen Winkel. Die Blätter wachsen spiralförmig um ihren Stängel und haben zu ihrem Nachbarn den Goldenen Winkel. Dadurch nehmen alle Blätter unterschiedliche Positionen um den Pflanzenholm ein, was besonders bei der Fotosynthese eine wichtige Rolle spielt.

Pentagramm

Pentagramm

Zuerst nimmt man ein regelmäßiges Fünfeck und zeichnet die Diagonalen ein. Die Diagonalen formen einen Stern mit fünf Zacken. Jedes gleichschenklige Dreieck, was sich im Pentagon bildet, ist ein goldenes Dreieck. Die Diagonalen teilen die Seiten im Goldenen Schnitt. Jede Sternspitze hat einen Winkel von 36°.

Das Pentagramm, auch Drudenfuß genannt, war das Zeichen der Pythagoräer und galt als magisches Zeichen. Die Streckenverhältnisse, die im Goldenen Schnitt stehen, sind inkommensurabel. Das bedeutet, dass die Strecken irrationale Längen haben und nur durch Zirkel und Lineal genau konstruiert werden können.

Eine Frage die aufgeworfen wird ist ob das Pentagramm seit je her eine magische Wirkung nachgesagt wird, weil es durch die vielfache Verwendung des Goldenen Schnittes eine besondere oder besonders harmonische Wirkung hat.

Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge

Durch die Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci Zahlen wird der Goldene Schnitt angenähert.

[math]f_n[/math]	[math]f_{n+1}[/math]	[math]\frac{f_{n+1}}{f_n}[/math]
[math]1[/math]	[math]1[/math]	[math]= 1[/math]
[math]1[/math]	[math]2[/math]	[math]= 2[/math]
[math]2[/math]	[math]3[/math]	[math]= 1,5[/math]
[math]3[/math]	[math]5[/math]	[math]\approx 1,667 [/math]
[math]5[/math]	[math]8[/math]	[math]= 1,6[/math]
[math]8[/math]	[math]13[/math]	[math]= 1,625[/math]
[math]13[/math]	[math]21[/math]	[math]\approx 1,6154 [/math]
[math]21[/math]	[math]34[/math]	[math] \approx 1,619 [/math]
[math]34[/math]	[math]55[/math]	[math] \approx 1,6176 [/math]

Der Goldener Schnitt in der Architektur

Altes Rathaus Leipzig mit goldenem Schnitt

Leipziger Rathaus

Beim Bau des alten Leipziger Rathauses ließ der Architekt Hieronymus Lotter den Turmeingang und Turm so positionieren, dass er die Vorderfront des Gebäudes im Verhältnis des goldenen Schnitts teilte. Kunst und Architektur wurden zu dieser Zeit geprägt von den Merkmalen der Renaissance, wie in diesem Fall mathematische Klarheit und Schönheit. Das alte Rathaus erhielt dadurch die bis heute erkennbare asymmetrische Fassade die seitdem ein Wahrzeichen der Stadt ist.

Petersdom mit mehreren goldenen Schnitten

Petersdom

Pyramide mit eingezeichneten Längen

Da der goldene Schnitt oft auch als "proportiona divina" (göttliches Maß) bezeichnet wird, ist er auch in vielen sakralen Bauten wiederzuentdecken. So auch in der größten päpstlichen Basilika der Welt: dem Petersdom in Rom. Die größere Teilstrecke des goldenen Schnitts wird häufig Major und die kleinere Minor genannt.

Cheops-Pyramide

Die Cheopspyramide ist so konstruiert, dass die Höhe d eines Seitendreiecks zur halben Grundseitenlänge s/2 im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. Nach heutigem Wissen betrugen die Maße der Cheops-Pyramide vor Verwitterung etc. 146,5 Meter in der Höhe und 230,36 Meter Seitenlänge. Allerdings ist davon auszugehen, dass den Ägyptern der goldenen Schnitt noch nicht bekannt war und sie die Pyramide nur nach reinen Ästhetik-Aspekten konstruierten. Zudem gab es bautechnische Limitierungen die eine steilere Steigung nicht erlaubten. Der goldenen Schnitt ist hierbei dennoch wie folgt aufzufinden:

[math] \frac{\text{Höhe des Seitendreiecks}}{\text{halbe Seitenlänge}} = \frac{\text{186,356 m}}{\text{115,18 m}} = 1,617957... \approx \Phi \\\\ [/math]

Der Goldene Schnitt in der Kunst

Fechner Methode der Wahl

In der Kunst wird der Goldene Schnitt durch Konstruktion verwendet, um eine harmonische und schöne Wirkung zu erzielen. Ob nun Goldene Figuren, wie das Goldene Rechteck, oder der Goldene Schnitt als Verhältnis der Proportionen angewendet wird, eins ist meistens gleich, die Wirkung. Auch wenn einige Studien zu der angeblichen Schönheit des Goldenen Schnittes existieren gibt es auch viele Zweifel daran.

Empfinden des Goldenen Schnitts

Fechner hat mithilfe dreier verschiedener Methoden herauszufinden gesucht, ob der Goldene Schnitt tatsächlich bevorzugt wird. Diese Methoden waren die der Wahl, der Herstellung und der Verwendung. Bei der Methode der Wahl legte er den Probanden weiße Rechtecke vor und tatsächlich hat sich eine Bevorzugung jener Rechtecke herausgestellt die als Seitenverhältnis annähernd den Goldenen Schnitt haben.

Berühmte Künstler und Kunstwerke

Vitruvianischer Mensch

Leonardo da Vinci gilt als einer der bekanntesten Künstler, bei dessen Kunstwerken der Goldene Schnitt zu erkennen ist. Der Vitruvianische Mensch gilt als Mensch mit optimalen Proportionen und diese Proportionen sind im Goldenen Schnitt. Auch bei der Mona Lisa ist vor allem die Verwendung der Goldenen Dreiecke zur Bildkonstruktion deutlich.

Auch bei anderen Künstlern wie Raffael und Dürer ist die Verwendung des Goldenen Schnittes auffällig. Bei Kunstwerken wie der Triumph der Galatea, der Sixtinischen Madonna oder das Selbstbildnis von Dürer. Der französische Maler Paul Sérusier ist einer der wenigen, bei denen bekannt ist das er den Goldenen Schnitt bewusst eingesetzt hat. Bei vielen anderen, wie George Seurat oder Juan Gris, wird vermutet das der Goldene Schnitt unbewusst, wegen seiner Harmonischen Wirkung genutzt wurde.