Zauberwürfel

Symmetrische Gruppe

Die Symmetrische Gruppe [math]S_n[/math] ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer Menge besteht. Man bezeichnet [math] n \in ℕ [/math] den Grad der Gruppe (Anzahl der Elemente).

Der Operator in der symmetrischen Gruppe ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen.

Das neutrale Element der Gruppe ist die Identitätsabbildung, welche bewirkt, dass keine Permutation stattfindet.

Die symmetrische Gruppe [math]S_n[/math] ist endlich und besitzt die Ordnung [math]n![/math].

Für Grad [math]n\gt 2[/math] ist die [math]S_n[/math] nichtabelsch.

Zur Veranschaulichung folgt ein Beispiel anhand eines Bücherregals:

Zunächst führen wir die Anfangsaufstellung der Bücher ein.

Startaufstellung

Als nächstes wird die Permutation [math] \sigma [/math] auf die Aufstellung angewandt.

[math] σ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} [/math]

Permutation mit [math] \sigma [/math]

Zuletzt wird [math] \mu [/math] auf die bereits von σ permutierte Aufstellung angewandt. Hieraus ergibt sich für die Endaufstellung = [math] \sigma \circ \mu [/math]

[math] μ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} [/math]

Permutation mit [math] \sigma \circ \mu [/math]

Zykelschreibweise

Die Vertauschungen werden häufig in sogenannten "Zykeln" geschrieben. Dabei werden die Positionen die durch die Vertauschungen geändert werden hintereinander in eine Klammer geschrieben. Dementsprechend ist die Zykelschreibweise nicht eindeutig. ?Die klassische Notation ist in der Klammer aufsteigend?.

Die Zykelschreibweise von [math]\sigma[/math] wäre zum Beispiel:

[math] \sigma = ( 1 ~ 2 ~ 3) (4) (5)[/math]

Dabei werden in der Notation die Zyklen <2 nicht mitgeschrieben.

Analog zu oben wäre die Schreibweise zu [math]\mu[/math] :

[math] \mu = ( 1 ~ 4) (2 ~3 ~ 5)[/math]

[math]\mu[/math] Veranschaulicht

Zu beachten ist hierbei, dass die Zykelschreibweise im generellen nicht kommutiert:

[math] \sigma \circ \mu = ( 1 ~ 2 ~ 3) ( 1 ~ 4) (2 ~3 ~ 5)= (1 ~ 4 ~ 2)(3~5) [/math]

[math] \mu \circ \sigma = ( 1 ~ 4) (2 ~3 ~ 5)( 1 ~ 2 ~ 3)= (1 ~ 3 ~ 4)(2~5) [/math]

[math]\mapsto \sigma \circ \mu \neq \mu \circ \sigma [/math]

Nice to know: Disjunkte Zykel kommutieren