Fibonacci Folge

Die Fibonacci-Folge ist eine Folge reeller Zahlen.

Erweiterung auf ganze Zahlen

Die Bildungsvorschrift lässt sich einfach umstellen:

[math] f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1} [/math]

Damit erhält man eine erweiterte Fibonacci-Folge:

[math] \cdots\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} f_{-7} & f_{-6} & f_{-5} & f_{-4} & f_{-3} & f_{-2} & f_{-1} & f_0 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 & f_7\\\hline 13 & -8 & 5 & -3 & 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 \end{array} \cdots [/math]

Die Beträge der Werte sind symmetrisch, im Negativen alternieren sie jedoch. Dementsprechend nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen im Negativen gegen [math]-\frac{1}{\Phi}[/math] an.

Kontinuierliche Fibonacci-Funktion

Formel von Moivre-Binet

Die Formel von Moivre und Binet ist eine Formel zur expliziten Berechung der n-ten Fibonacci-Zahl:

[math] f_n=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}[/math]

[math]\Phi[/math] ist dabei der goldener Schnitt [math]\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math]. Diese Formel liefert für ganzzahlige Werte für n auch exakte, ganzzahlige Ergebnisse.

Beweis durch vollständige Induktion

. Um zu zeigen, dass diese Formel die Fibonacci-Zahlen ergibt, überprüfen wir die Bildungsvorschrift: IA: Die Formel gilt für [math]n=0\ \left(\frac{\Phi^0-(1-\Phi)^0}{\sqrt{5}}=\frac{1-1}{\sqrt{5}}=0=f_0\right)[/math] und für [math] n=1\ \left( f_1= \frac{\Phi^1-(1-\Phi)^1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1=f_1\right)[/math]. IV: Nun gelte sie für ein [math] n,\ n-1\in\mathbb{N}[/math]. IS: Dann gilt: [math] \begin{array}{rl} f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}&=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n+\Phi^{n-1}-(1-\Phi)^{n-1}}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}(1+\Phi)-(1-\Phi)^{n-1}\left(1+(1-\Phi)\right)}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}(\Phi^2)-(1-\Phi)^{n-1}(1-\Phi)^2}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}} \end{array} [/math] Ebenso für negative Zahlen: [math] \begin{array}{rl} f_{n-2}=f_{n}-f_{n-1}&=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n-\Phi^{n-1}+(1-\Phi)^{n-1}}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}(\Phi-1)-(1-\Phi)^{n-1}\left((1-\Phi)-1\right)}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}\left(\frac{1}{\Phi}\right)-(1-\Phi)^{n-1}\left(\frac{1}{1-\Phi}\right)}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-2}-(1-\Phi)^{n-2}}{\sqrt{5}} \end{array} [/math]

Erweiterung auf eine kontinuierliche Funktion

Nun stellt sich die Frage, was passiert, wenn wir in die Formel von Moivre-Binet nicht-ganzzahlige Werte für n einsetzen, die Fibonacci-Folge also in eine kontinuierliche Funktion umwandeln. Da [math]1-\Phi[/math] jedoch negativ ist, und nicht-ganzzahlige Potenzen von negativen Zahlen nur im Komplexen definiert sind, müssen wir den Wertebereich auf [math]\mathbb{C}[/math] erweitern:

[math] \begin{array}{rl} f:&\mathbb{R}\to\mathbb{C}\\&x\mapsto f(x)=\frac{\Phi^x-(1-\Phi)^x}{\sqrt{5}} \end{array} [/math]

<math>-5\leq x\leq0</math>

Der Graph dieser Funktion sieht wie folgt aus (Darstellung als Kurve mit Kurvenparameter x):