Primzahlzwillinge

Liste der Primzahlzwillinge bis 20.000

Als Primzahlzwillinge werden Paare aus Primzahlen mit der Differenz von 2 bezeichnet. Das kleinste Paar Primzahlzwillinge ist (3, 5).

Definition

Primzahlzwillinge sind alle Paare (p₁, p₂) aus zwei Primzahlen mit einer Differenz von 2.

p₂ = p₁+2.

Eigenschaften

Jede Primzahl p > 3 hat die Form p = 6n -1 oder p = 6n +1, wobei n eine natürliche Zahl ist. Mit Ausnahme des kleinsten Primzahlzwillings (3, 5) sind somit alle Zwillingspaare von der Form:

p₁ = 6n - 1 mit n ∈ ℕ

p₂ = 6n +1 mit n ∈ ℕ

Die Zahl zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings ist folglich ein Vielfaches der Zahl 6. Dies gilt nur als Primzahlzwilling, wenn sowohl p₁ als auch p₂ eine Primzahl ist.

Alle Primzahlen p, die zu keinem Zwilling gehören, werden isolierten Primzahlen genannt. Für diese sind p – 2 und p + 2 keine Primzahlen. Zu ihnen gehören zum Beispiel die Primzahlen 23, 37 und 47.

Das größte gegenwärtig bekannte Paar Primzahlzwillinge ist: (2.996.863.034.895 · 2^1.290.000 – 1, 2.996.863.034.895 · 2^1.290.000 +1) . Die beiden Zahlen haben jeweils 388.342 Ziffern. Errechnet wurde dieses Paar im Rahmen des Volunteer-Computing-Projekt PrimeGrid.

Das Finden solch großer Primzahlen ist kompliziert, weshalb sie von Computern berechnet werden.

Weitere Primzahlpaare

Primzahldrillinge

Primzahldrillinge bezeichnen Tripel aus Primzahlen (p₁, p₂, p₃), hierbei sind die Primzahlen nur um eine Differenz von 2 von der jeweils nächsten entfernt.

p₂ = p₁+2

p₃ = p₂+2 = p₁+4

(p₁, p₁+2, p₁+4)

Das kleinste Tripel Primzahldrillinge ist (3, 5, 7).

Primzahlvierlinge

Primzahlvierlinge werden Paare aus zwei Primzahlzwillingen genannt (p₁, p₂, p₃, p₄), dabei beträgt die Differenz zwischen den beiden Zwillingspaaren vier.

p₂ = p₁+2

p₃ = p₂+4 = p₁+6

p₄ = p₃+2 = p₂+6 = p₁+8

((p₁, p₁+2), (p₁+6, p₁+8))

Das kleinste Paar Primzahlvierlinge ist (5, 7, 11, 13).

Die Auflistung lässt sich weiterführen mit Fünflingen, Sechslingen, usw. Diese folgen alle dem selben Schema.

Die oben genannten Paare gehören zu den Primzahltupeln, deren Prinzip auf dem der Primzahlzwillinge beruht. Eine weitere Form dieser Primzahltupel sind die sexy Primzahlen. Hierbei handelt es sich um Primzahlen mit der Differenz von sechs. Die Bezeichnung sexy Primzahlen kommt von der lateinischen Zahl sex – sechs. Alle Primzahltupel existieren auch als sexy Primzahltupel.

Primzahlcousins

Als Primzahlcousins werden Paare (p₁, p₂) aus Primzahlen mit der Differenz von 4 bezeichnet.

p₂ = p₁+4

Das kleinste Paar Primzahlcousins ist (3, 7).

Besonderheit: Die sieben ist die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlcousins gehört: zu dem Paar (3, 7) und dem Paar (7, 11).

Das momentan größte Paar Primzahlcousins (p, p + 4) wurde 2009 von Ken Davis entdeckte und hat 11.594 Stellen.

Im November 2012 wurde von Michael Angel, Paul Jobling und Dirk Augustin ein Paar größerer Primzahlcousins mit 19.629 Stellen gefunden, jedoch ist hier bei einer der beiden Zahlen nicht nachgewiesen ob sie eine Primzahl ist. Diese Zahl besitzt jedoch alle Eigenschaften einer Primzahl, daher wird davon ausgegangen, dass es eine Primzahl ist, auch wenn dies mit keinem bekannten Primzahltest nachzuweisen ist.

Sexy Primzahlen

Sexy Primzahlzwillinge sind Paare aus zwei Primzahlen der Differenz sechs (p, p +6), wie zum Beispiel (5, 11).

Sexy Primzahldrillinge sind Tripel von der Form ( p, p +6, p +12). Dazu gehören z.B. (7, 13, 19) oder (17, 23, 29).

Übersicht der Primzahlpaare

Bezeichnung	Form
Primzahlzwilling	(p, p+2)
Primzahldrilling	(p, p+2, p+4)
Primzahlvierling	(p, p+2, p+6, p+8)
Primzahlcousin	(p, p+4)
Sexy Primzahlzwilling	(p, p+6)
Sexy Primzahldrilling	(p, p+6, p+12)
Sexy Primzahlvierling	(p, p+6, p+12, p+18)

Primzahlzwillingsvermutung

Verteilung der Primzahlzwillinge in den natürlichen Zahlen

Die größte Frage bezüglich Primzahlzwillingen, auf die bisher noch keine Antwort gefunden wurde, ist die Frage nach der Endlichkeit der Primzahlzwillinge.

Die Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen im Abstand 2 (Primzahlzwillinge) gibt.

Bewiesen ist, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Zudem kann gezeigt werden, dass je größer die Zahlen werden, desto größer wird auch der Abstand zwischen den Primzahlzwillingen, umso seltener werden sie. Jedoch treten auch größere Primzahlen gebündelt, also als Primzahlzwillinge, -drillinge usw., auf.

Lösungsversuche

1849 - Alphonse de Polignac

Im Jahre 1849 machte de Polignac die allgemeinere Vermutung, dass es für jede natürliche Zahl k unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen mit der Differenz 2k gibt. Für k=1 ist das die Vermutung über Primzahlzwillinge. Seine Vermutung ist als "Poligancs Vermutung" bekannt, die bis heute weder bewiesene noch widerlegte wurde.

1919 - Viggo Brun

Beim Versuch das Problem der Primzahlzwillinge zu lösen, entstand 1919 die brunsche Konstante. Viggo Brun stellte fest, dass die Summe der Kehrwerte von Primzahlenzwillingen konvergiert. Der Grenzwert dieser Summe wird brunsche Konstante genannt und meist als B₂ bezeichnet.

B₂ [math]= (\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+... [/math]

Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)

B₂ ≈ 1,90216 05832 09 ± 0,00000 00007 81

Der Wert der brunschen Konstante ist nur eine Schätzung, dabei summiert man die Kehrwerte möglichst weit auf und der fehlende Rest wird abgeschätzt. Dies wird zum einen gemacht, weil die Reihe nur sehr langsam konvergiert, was die Berechnung erschwert und zum anderen weil das Finden von großen Primzahlzwillingen so kompliziert ist, dass man nicht alle mit einberechnet.

Während die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, konvergiert also die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge. Hätte der Lösungsansatz zu einem anderen Ergebnis geführt, nämlich dass die Summe divergiert, so wäre dies der Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gewesen. Der Umkehrschluss lässt sich aus der Konvergenz jedoch nicht folgern.

Auch zu Primzahlvierlingen gibt es eine brunsche Konstante, genannt B₄.

B₄ [math]= (\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+...[/math]

Da alle Primzahlvierlinge aus Primzahlzwillingen bestehen, sind auch alle Summanden aus B₄ in B₂ vorhanden. Somit ist B₄ kleiner als B₂ und ebenso eine konvergente Summe.

2013 - Zhang Yitang

Der Mathematiker Zhang Yitang hat 2013 die Poligancs-Vermutung für n < 70,000,000 bewiesen, also dass es unendlich viele Primzahl-Paare gibt, deren Differenz höchstens 70 Millionen beträgt. Diese Differenz ist zwar groß, jedoch ist sie auch endlich. Dadurch ist bewiesen, dass der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahl-Paaren nicht beliebig groß ist, sondern dass sich das nächste innerhalb der nächsten 70 Millionen Zahlen beginnt. Damit ist die Primzahlzwillingsvermutung weder bewiesen noch widerlegt, trotzdem ist es eine Basis um weitere Vermutungen aufzustellen und Beweise zu konstruieren.

Es gibt zahlreiche weitere Vermutungen über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge, jedoch basieren diese zumeist auf unbewiesenen Vermutungen.

Quellen

• https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlzwilling (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://mathematikalpha.de/primzahlzwillinge (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://mathepedia.de/Primzahlzwillinge.html (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://mathematikalpha.de/primzahlvierlinge (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlencousin (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://mathepedia.de/Reziproke_Primzahlen.html (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://matheguru.com/allgemein/beweis-dass-es-unendlich-viele-primzahlen-gibt.html (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://mathepedia.de/Brunsche_Konstante.html (letzter Abruf am 31. März 2021)
• https://www.dewiki.de/Lexikon/Primzahlencousin (letzter Abruf am 31. März 2021)

Autoren

• Koralie Pietsch
• Sarah Suleiman