Riemannsche Vermutung

Zusammenhang mit Primzahlen

Primzahlsatz: [math][/math] [math]\displaystyle \lim _{{x\to \infty }}{\frac {\pi (x)}{{\frac {x}{\ln(x)}}}}=1[/math], also [math]\displaystyle \pi (x) \sim \frac{x}{\ln {x}} [/math] (sie sind "asymptotisch äquivalent, bzw. werden prozentual immer genauer).

Dies entspricht wohl im Großen und Ganzen, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen [math] s [/math] mit [math]\operatorname{Re}(s) \ge 1 [/math] hat. (die trivialen sind alle negativ und die nicht-trivialen haben laut Riemannscher Vermutung alle den Imaginärteil 1/2).

[math]\displaystyle \mathrm{Li}(x):=\int _{2}^{x}{\frac { \mathrm{d}t }{\ln {t}} } [/math] ist eine bessere Approximation als [math] \frac{x}{\ln {x}} [/math].

Primzahlfunktion: [math]{\displaystyle \pi (x):=\left|\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}\right|}[/math] also der Anzahl der Primzahlen [math]\le x[/math].

Wäre eine analytische Funktionsgleichung der Primzahlfunktion bekannt, wäre die genaue Verteilung der Primzahlen bekannt, und ob eine Zahl eine Primzahl ist, könnte einfach abgelesen werden. Diese analytische Form zu finden, ist das Ziel der ganzen folgenden Gleichungen und Umformungen. (Letztendlich wird eine Formel gefunden, in die aber alle (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen).

[Ein Bild der Stufenfunktion [math]\pi(x)[/math] sollte hier irgendwo dazu]

Zetafunktion: [math]\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}[/math]

Die Zetafunktion hängt direkt mit den Primzahlen zusammen: [math]\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}[/math]

Diese zweite Form der Zetafunktion (mit dem Produkt) lässt sich umwandeln in eine Formel für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] :

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-ns}}{n}}}[/math]

Um weiterzukommen wird zunächst folgende Funktion "willkürlich" definiert (eigentlich ist sie genau so definiert, dass sie die richtige Form hat, um sie später benutzen zu können):

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{n}\lt x}{\frac {1}{n}}=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Theta (x-p^{n})}{n}}}[/math] [hier kann vielleicht die zweite Form ganz weggelassen werden, wenn es mathematisch nicht so genau beschrieben wird und dann gar nicht mehr vorkommt]

Mithilfe dieser Funktion lässt sich [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in Integralform schreiben:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int \limits _{0}^{\infty }x^{-s-1}\Pi (x)\mathrm {d} x}[/math]

Dieser Ausdruck lässt sich über eine inverse Mellin-Transformation "umkehren" zu:

[math]{\displaystyle \Pi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s}[/math] (mit einem [math] c\gt 1 [/math])

Produktdarstellung der Riemannschen Xi-Funktion, wobei [math]\rho[/math] die (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion sind:

[math]{\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}[/math] [Übrigens entspricht die Riemannsche Vermutung genau der Aussage, dass alle Nullstellen von [math]{\displaystyle \Xi (t)=\xi ({\textstyle {\frac {1}{2}}+it})}[/math] reell sind]

Hieraus lässt sich eine zweite Form für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] formulieren:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{\rho }\ln \left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)-\ln 2-\ln \Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)+{\frac {s}{2}}\ln \pi -\ln(s-1)}[/math]

Indem man [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in der obigen Gleichung [math]\Pi (x)[/math] substituiert (was wohl mathematisch sehr anspruchsvoll ist), erhält man eine Formel für [math]\Pi (x)[/math], in die "einfach" die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen:

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\mathrm {Li} (x)-\sum _{\rho }\mathrm {Li} (x^{\rho })-\ln 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\ln t}}}[/math]

Über die Möbius-Inversion lässt sich folgender Zusammenhang zwischen [math]\pi (x)[/math] und [math]\Pi (x)[/math] herleiten (mit der Möbiusfunktion [math]\mu (n)[/math]) : [Wikipedialink zur Möbius-Funktion]

[math] {\displaystyle {\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})}} [/math]

Benutzt man hier nun für [math]\Pi (x)[/math] den Ausdruck mit den nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion, hat man eine analytische Darstellung der Primzahlfunktion [math]\pi (x)[/math] hergeleitet, was ursprünglich das Ziel des Ganzen war. Das Problem liegt ab hier also im Finden und in der Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion. Genau daher kommt auch die Relevanz der Riemannschen Vermutung für die Verteilung der Primzahlen.