Konstruktion der Reellen Zahlen

Quellen

• Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-662-56740-1, S.190, 1053, 1173
• Höhere Mathematik, Verlag Harri Deutsch, ISBN: 978-3-8171-1872-4, S.345, 351, 388
• Grundwissen Mathematikstudium, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8274-2308-5, S.297, 772
• Lexikon der Mathematik BAND:1, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 3-8274-0303-0, S.292ff.
• Das Rätsel von Pierre de Fermat, Librero, ISBN: 978-90-8998-719-8, S.95, 107, 113, 132
• Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8351-0123-4, S.243
• dtv-Atlas der Mathematik Band 1, Dtv, ISBN: 3-423-03007-0, S.61
• Rechnen und Mathematik, Bertelsmann Lexikon-Verlag, Buch-Nr. 1599'1180, S.447

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VL1:

Die Anordnungsaxiome: Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Teilmenge [math]P \subset K [/math], die die Axiome O1 und O2 erfüllen. Statt a \in P schreiben wir a>0, sprich: "a positiv".

O1 Für jedes a \in K gilt genau eine der folgenden Aussagen:

i)	[math]a\in P[/math]	a>0
ii)	a = 0	a = 0
iii)	[math]-a\in P[/math]	-a>0

O2

[math]a,b\in P \Rightarrow a+b, ab \in P || a,b \gt 0 \Rightarrow a+b\gt 0 \land ab\gt 0 [/math]

Es sei M eine Teilmenge des angeordneten Körpers K. Ein Element <math>s\in K<\math> heißt Supremum vom M, falls gilt:

• s ist eine obere Schranke von M
• Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math> t \geq s <\math>

D.h. s ist die "kleinste obere Schranke" von M.

Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math> a:\mathbb{N} \to \mathbb{Q} <\math>. Wir schreiben <math> a=(a_n)_n \in \mathbb{N} <\math>.

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math> \forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \ge n_0 : |a_n - a_m|<ε

• (a_n)_n mit a_n = n+1 es gilt <math>|a_m - a_n|=|m-n|\ge 1 <\math> für <math>m \neq n<\math>
• (d_n)_n mit d_n = 1/n ist eine Cauchy-Folge. Sei ε>0 und <math>N \in \mathbb{N}<\math> mit <math>1/N \leq ε<\math>. Wenn m>n>N |d_m - d_n|=|1/m - 1/n|=1/n - 1/m < 1/N - 1/m < ε.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt nicht in <math>\mathbb{Q}<\math>! (Aber in <math>\mathbb{R} \lor \mathbb{C}<\math>)

VL2:

Sei C die Menge der Cauchy-Folgen auf <math>\mathbb{Q}<\math>.

Eigenschaften von Cauchy-Folgen

Seien <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} \in C <\math>. Dann gilt: a) <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> ist beschrankt. b) <math> (x_n + y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> c) <math> (x_n * y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> d) Ist <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge <math>\Rightarrow \exists ε>0, ε\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{N}<\math> entweder <math>x_n\geq ε \forall n \geq N \lor x_n\leq -ε \forall n \geq N<\math> e) ISt <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge, <math>x_n\neq 0 \forall n\in \mathbb{N} \Rightarrow ((x_n)^(-1))\in C <\math>

Konstruktion der Menge <math>\mathbb{R}<\math> als Körper

Zwei Cauchy-Folgen <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} <\math> heißen äquivalent (x~y), falls <math> x_n - y_n \to 0<\math>. Definition <math>\mathbb{R}<\math> := <math>\mathbb{R}={[(x_n]|(x_n)_n\in\mathbb{N} \in C} \widehat{=} "reellen Zahlen"<\math>. Eigenschaften: a) (<math>\mathbb{R}<\math>, +) ist abelsche Gruppe b) (<math>\mathbb{R}\{0}<\math>, *) ist abelsche Gruppe c) Es gilt das Distributivgesetz d) (<math>\mathbb{R}<\math>, +, *) ist ein Körper

dtv-Atlas Mathematik

Def1: Eine Folge (a_n) heißt Nullfolge, wenn lim_n->\infty a_n = 0 gilt. Def2: Eine Folge (a_n) heißt Fundamentalfolge (FF) oder Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε>0 ein n_1 \in \mathbb{N} gibt, sodass d(a_n,a_m)<ε für alle n\geq n_1 und m\geq n_1 (Abb.1) Bem: Allgemeiner kann für topologische Gruppen die Konvergenz gegen a auch so formuliert werden, dass es zu jeder Umgebung des Nullelements ein n_0 gibt, sodass für n\geq n_0 alle Differenzen a-a_n in dieser Umgebung liegen. Bei der FF liegen alle Differenzen a_n - a_m für n\geq n_1 und m\geq n_1 in einer solchen Umgebung. Satz: Jede konvergente Folge ist eine FF. BW: Ist ε>0 vorgegeben, so ist auch ε/2>0 und es gibt wegen der Konvergenz ein n_1, sodass |a-a_n| < ε/2 für alle n \geq n_1. Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung |a_n-a_m|=|(a_n - a)+(a-a_m)|\leq |a-a_n|+|a-a_m|< ε/2 + ε/2 = ε für alle n\geq n_1 und m\geq n_1. \Box Die zusätzliche topologische Struktureigenschaft für die Erweiterung der <math>\mathbb{Q}<\math> soll jetzt die Forderung sein, dass in der vervollständigten Menge jede FF konvergiert. Ein Raum mit dieser Eigenschaft nennt man vollständig. Die Vervollständigung von <math>\mathbb{Q}<\math> heißt vollständige Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>.

Konstruktion der vollständigen Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>

Man könnte zunächst daran denken, die FF selbst als Elemente der zu konstruierenden Menge zu verwenden. Doch zeigt schon die Betrachtung konvergenter FF, dass es jeweils beliebig viele Folgen mit gleichem Grenzwert (Limes) gibt. Sind (a_n) und (b_n) zwei solcher Folgen, so ist allerdings (a_n - b_n) eine Nullfolge. Dies führt zu einer Klasseneinteilung in der Menge aller FF durch die Einführung einer Äquivalentsrelation. Wir bezeichnen nun den Abschluss der <math>\mathbb{Q}<\math> nun als <math>\mathbb{Q}\bar<\math>. Somit kann man <math>\mathbb{Q}\bar<\math> anordnen und durch einen Absolutbetrag einführen, durch den in <math>\mathbb{Q}\bar<\math> eine Metrik und damit eine topologische Struktur eingeführt werden kann, durch die <math>\mathbb{Q}\bar<\math> die Eigenschaften einer topologischen Gruppe erhält. Es zeigt sich, dass jede FF in <math>\mathbb{Q}\bar<\math> konvergiert. <math>\mathbb{Q}\bar<\math> ist die gesuchte vollständige Hülle von <math>\mathbb{Q}<\math>.

Einbettug von <math>\mathbb{Q}<\math> in <math>\mathbb{Q}\bar<\math>

Die abbildung i:<math>\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}\bar<\math> definiert durch i(p)=[(p,p,p,...)] ist eine injektive strukturverträgliche Abbildung. Strukturverträglichkeit bedeutet hier Verträglich mit der Gruppenstruktur von (<math>\mathbb{Q}<\math>,+) und der topologischen Struktur. Aus der Konstruktion von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> ergibt sich auch die universelle Eigenschaft von i. Denn ist M irgendeine Menge mit den geforderten Strukturmerkmalen, und lässt sich <math>\mathbb{Q}<\math> in M einbetten durch die strukturverträgliche Abbildung f:<math>\mathbb{Q} \to M<\math>, so kann zunächst gefolgert werden, dass (f(a_n)) FF in M ist, wenn (a_n) FF in <math>\mathbb{Q}<\math> ist. (f(a_n)) konvergiert wegen den Struktureigenschaften von M dann gegen ein Element <math>r' \in M<\math>. Die Abbildung g:<math>\mathbb{Q}\bar \to M<\math> definiert durch g([a_n])= r' bettet dann <math>\mathbb{Q}\bar<\math> in M ein, und es ist <math>f = g \circ i<\math>. <math>\mathbb{Q}\bar<\math> is tdamit die kleinste <math>\mathbb{Q}<\math> umfassende Menge, in der jede FF konvergiert, und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Isomorphie von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> und <math>\mathbb{R}<\math>

Die topologische Struktur von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> heißt reelle Topologie i Unterschied zur sogenannten raationalen Topologie von <math>\mathbb{Q}<\math>. Durch [(a_n)]*[(b_n)]:=[(a_n * b_n)] und [(a_n)]^(-1) :=[((a_n)^(-1))] für <math>a_n \neq 0<\math> lässt sich die algebraische Struktur von <math>\mathbb{Q}\bar<\math> zu einer Körperstruktur erweitern derart, dass <math>\mathbb{R} und \mathbb{Q}\bar<\math> bijektiv unter Erhaltung aller Strukturmerkmale aufeinander abgebildet werden können. Ist etwa (a_n) eine FF in <math>\mathbb{Q}<\math>, so gibt es stets eine äquivalente monoton steigende Folge (b_n). <math>\cup A_b_n <\math> ist dann ein offener Anfang in <math>\mathbb{Q}<\math> und φ:<math>\mathbb{Q}\bar \to \mathbb{R}<\math> definiert durch φ([a_n])=<math>\cup A_b_n <\math> eine bijektive strukturverträgliche Abbildung.

Springer-Taschenbuch der Mathematik

Cauchykriterium. Eine reelle Zahlenfolge konvergiert genau dann gegen eine reelle Zahl, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Rechnen und Mathematik

Es gilt: <math><a_n> ist Cauchyfolge \Leftrightarrow <a_n> ist konvergent<\math>

HöMa

Def(73.10): Eine Folge von Elementen eines angeordneten Körpers K heißt Verdichtungsfolge oder Cauchyfolge, wenn es zu jedem Element ε>0 in K einen Index <math>N\in \mathbb{N}<\math> gibt mit |x_n - x_m|<ε für alle <math>m,n\geq N<\math>. 74.Grenzwerte in der komplexen Zahlenebene: Wir wollen in diesem Abschnitt den Konvergenzbegriff von <math>\mathbb{R}<\math> auf <math>\mathbb{C}<\math> verallgemeinern. Das geht problemlos, weil die Betragsfunktion und die Abstandsfunktion in <math>\mathbb{C}<\math> die gleichen Eigenschaften besitzt wie die entsprechenden Funktionen im Bereich der reellen Zahlen; lediglich solche Aussagen, die explizit die Anordnung reeller Zahlen benutzen, haben keine Entsprechung im Bereich der komplexen Zahlen, der ja kein angeordneter Körper ist. Def.(74.1): Eine Folge (z_n) komplexer Zahlen heißt (b) Verdichtungsfolge oder Cauchyfolge, wenn es zu jeder vorgegebenen Toleranz ε>0 einen Index N gibt mit |z_n - z_m|<ε für alle <math>m,n\geq N<\math>. Es zeigt sich, dass der Konvergenzbegriff in <math>\mathbb{C}<\math> leicht auf den in <math>\mathbb{R}<\math> zurückgeführt werden kann. Def(81.13): Wir haben in (74.1) die wesentlichen Eigenschaften des Konvergenzbegriffs im Bereich der reellen Zahlen angegeben. Alle damals gemachten Aussagen, die sich für beliebige metrische Räume formulieren lassen, bleiben in diesem allgemeinen Rahmen richtig: jede konvergente Folge ist eine Verdichtungsfolge; jede Verdichtungsfolge ist beschränkt; konvergiert eine Teilfolge einer Verdichtungsfolge, so konvergiert die Verdichtungsfolge selbst (und zwar gegen den gleichen Grenzwert wie die Teilfolge); eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.

Mathematik

Vertiefung: Cauchy-Folgen und Vollständigkeit

Wir benötigen die Eigenschaft, dass M vollständig ist. Das bedeutet, dass jede Folge (x_n) aus M mit der Eigenschaft <math>d(x_n,x_m)\to 0 n,m\to\infty<\math> auch einen Grenzwert <math>x\in M <\math> besitzt. Eine Folge mit dieser Eigenschaft wird Cauchy-Folge genannt. Solche Folgen und der eng damit verbundene Begriff der Vollständigkeit wurden in der Vertiefung Cauchyfolgen behandelt.

Wichtige Sätze der Analysis beruhen auf der Vollständigkeit von <math>\mathbb{R}<\math>

Bei der Einführung der Zahlensysteme kann man so vorgehen, dass man mit den natürlichen Zahlen <math>\mathbb{N}<\math> beginnt. Als Differenzen von natürlichen ZAhlen erhält man die ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}<\math>, als Quotienten von ganzen Zahlen die rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}<\math>. In <math>\mathbb{Q}<\math> kann man jetzt schon recht gut Analysis betreiben, etwa den Konvergenzbegriff einführen. Die Folge (1/n) ist zum Beispiel aus <math>\mathbb{Q}<\math> und konvergiert gegen die Null. Es gibt aber auch andere Folgen in <math>\mathbb{Q}<\math>, die sich wie konvergente Folgen verhalten, deren Grenzwert aber nicht in <math>\mathbb{Q}<\math> liegt, sondern in <math>\mathbb{R}<\math>. Ein Beispiel dafür ist die Folge, die beim Heron-Verfahren zur Approximation von <math>sqrt(2)<\math> konstruiert wird. Beschränkt man sich nur auf <math>\mathbb{Q}<\math>, so ist eine solche Folge nicht konvergent, denn sie besitzt keinen Grenzwert in <math>\mathbb{Q}<\math>. Sie hat aber folgende Eigenschaft: Eine Folge (x_n) in einem normierten Raum V heißt Cauchy-Folge, falls es zu jeder Zahl ε>0 eine natürliche Zahl N gibt, sodass ||x_n - x_m||<ε für alle <math>n,m\geq N<\math>. Beispiel: Wir berechnen die Cauchy-Folgeneigenschaft der Folge aus dem Heron-Verfahren nach. Die Folge ist definiert durch <math>a_0 = 2, a_n=1/2(a_n-1 + 2/(a_n-1)) n\in \mathbb{N}<\math>.

Mittels vollständiger Induktion zeigt man sofort, dass a_n \in [1,2] für alle <math>n\in \mathbb{N}_0<\math> gilt. Weiterhin folgt 

a_n+1 - a_n = 1/2 ( a_n + 2/a_n - a_n-1 -2/a_n-1) = (1/2 - 1/(a_n * a_n-1))(a_n - a_n-1) für <math>n\in \mathbb{N}<\math>. Somit ergibt sich |a_n+1 - a_n|\leq 1/2 |a_n - a_n-1| \leq (1/2)^n |a_1-a_0|. Für m>n folgt mit der geometrischen Reihe |a_m - a_n|\leq \sum\k=n\to\m-1 |a_k+1 - a_k|\leq \sum\k=n\to\m-1 (1/2)^k |a_1-a_0| = (1/2)^n |a_1-a_0| \sum\k=0\to\m-n-1 (1/2)^k \leq (1/2)^n-1 |a_1 - a_0|. Indem wir n groß genug wählen, wird die Schranke auf der rechten Seite kleiner als jedes vorgegebene ε. Wir haben damit den Nachweis erbracht, dass (x_n) eine Cauchy-Folge ist.