Matrixgruppen in der Physik

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Häufig werden in der Physik Matrizen zur Beschreibung von Transformationen eines Objektes im Raum genutzt. Dabei ist mitunter weniger der Gruppencharakter als die elegante Beschreibung und einfache Berechnung von Bedeutung. Nichtsdestotrotz sollen auch solche Matrizen erwähnt werden.

Beispiel: Matrizenoptik

Ein Beispiel für Matrizen in der Experimentalphysik ist die sogenannte Matrizenoptik. Unter der Prämisse der geradlinigen Ausbreitung von Lichtstrahlen, die als Geraden behandelt werden können, lassen sich optische Systeme mithilfe von linearen Transformationen leicht berechnen. Betrachtet man die Ausbreitung eines Lichtstrahls unter einem kleinen Winkel zu einer Achse, so ist jener Strahl durch den Winkel und die Entfernung auf der Achse vollständig bestimmt. Die Linearisierung tan(α) = α erlaubt es, den Strahl als Vektor mit den Komponenten des Abstandes und des Winkels zu beschreiben. Es gilt also für den Vektor [math]\textbf{r} = (r, \alpha)[/math], der einen Lichtstrahl charakterisiert, dass das Zurücklegen einer Strecke [math]b[/math]entlang der jeweiligen Achse durch eine Matrix beschrieben werden kann, die im einfachen Fall zweier Dimensionen durch

[math]\begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}[/math]

gegeben ist. Der Lichtstrahl wird also, nachdem er die Strecke [math]b[/math]entlang der Achse unter einem Winkel α zurückgelegt hat, durch

[math]\textbf{r} = \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} (r, \alpha) = (r + \alpha b , \alpha) [/math]

beschrieben. Konvention ist häufig, die Achse, bezüglich derer die Propagation, d. h. Ausbreitung des Lichtstrahls berechnet wird, als z-Achse zu benennen. Zudem gilt zumeist: die Strahlrichtung läuft von links nach rechts, die Steigung ist positiv, wenn der Strahl von der Achse wegläuft, und es werden bestimmte Annahmen bezüglich des Vorzeichens des Radiuses von Flächen, der Bildweite und -größe getroffen. Folgende Matrizen können angewandt werden, um typische Operationen zu berechnen:

Operation	Matrix
Translation	[math]\begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]
Brechung	[math]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix} [/math]
dünne Linse	[math]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{bmatrix} [/math]
gekrümmter Spiegel	[math]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{r} & 1 \end{bmatrix} [/math]

Hierbei stehen [math]n_1, n_2[/math] für die Brechungsindices der Medien, die das Licht in dieser Reihenfolge passiert, [math]f[/math] für die Brennweite der Linse und [math]r[/math] für den Radius des gekrümmten Spiegels. Auch komplexere Elemente wie andere Linsen und Spiegel oder Fasern lassen sich so beschreiben. Dieser Formalismus erlaubt durch Hintereinanderausführung eine vergleichsweise einfache Berechnung selbst von Aufbauten, die viele optische Elemente enthalten. Klassische Eigenschaften von Matrizen wie z. B. die Determinante sind auch hier bedeutsam, beispielsweise muss die Determinante einer Translationsmatrix immer eins sein, allerdings nur vom Betrag, da auch Spiegelungen zugelassen sind.

andere Anwendungen von Matrizen

Mitunter werden Matrizen auch nicht im Sinne einer Transformation, sondern als eine Form von Darstellung z. B. für einen Tensor oder einen Gewichtungsfaktor genutzt.

Beispielsweise lassen sich Tensoren als Matrizen darstellen, z. B. das Kronecker-Delta als 2x2-Einheitsmatrix.

[math]\delta_{ij} = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Der Trägheitstensor, einer "Verallgemeinerung" des Trägheitsmomentes, gibt an, wie träge ein Körper gegenüber einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit um eine seiner Achsen ist. Im Trägheitstensor ist diese Eigenschaft bezüglich verschiedener Achsen dargestellt, und er wird zumeist als Matrix notiert. Dabei entsprechen z. B. symmetrische Darstellungen oder Matrizen in Diagonalgestalt direkt den physikalischen Eigenschaften des Objektes, u. a. in Form von Symmetrien.

[math]I= \begin{bmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{bmatrix} [/math],

Trägheitstensor einer Punktmasse mit Abstand r auf der 1-Achse:

[math]I= m r^2 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik lässt sich die Lagrange-Funktion, deren Extremalisierung zentraler Bestandteil des analystischen Lösungsprozesses zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen eines Systems ist, mitunter durch Matrizen darstellen. Dadurch ist die Berechnung vereinfacht und es können bestimmte Eigenschaften des Systems, z. B. Schwingungsfrequenzen, bestimmt werden. Hierbei wird zwar der Matrizenformalismus zur Berechnung genutzt, zugleich muss aber beachtet werden, inwiefern diese Matrix physikalische Realität besitzt. Dieses Argument wird bspw. verwendet, um die Symmetrie jener Matrix zu begründen.