Surreale Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen
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Alle Zahlen, die wir durch Induktion über ''n'' erhalten haben, besitzen die Form <math>\frac{m}{2^n}, m,n \in \mathbb{N} </math>. Alle diese Zahlen haben [[wikipedia:Decimal#Decimal_fractions|endliche Dezimaldarstellungen]]. Den Tag, an welchem alle diese Zahlen bereits existieren (also "ein Tag" nach abzählbar unendlich vielen Tagen) und wir mit diesen neue Zahlen erschaffen, nennen wir Tag ω. Wir werden sehen, dass sich nun auch Zahlen mit nicht endlichen Dezimaldarstellungen konstruieren lassen. Wir betrachten dazu: | Alle Zahlen, die wir durch Induktion über ''n'' erhalten haben, besitzen die Form <math>\frac{m}{2^n}, m,n \in \mathbb{N} </math>. Alle diese Zahlen haben [[wikipedia:Decimal#Decimal_fractions|endliche Dezimaldarstellungen]]. Den Tag, an welchem alle diese Zahlen bereits existieren (also "ein Tag" nach abzählbar unendlich vielen Tagen) und wir mit diesen neue Zahlen erschaffen, nennen wir Tag ω. Wir werden sehen, dass sich nun auch Zahlen mit nicht endlichen Dezimaldarstellungen konstruieren lassen. Wir betrachten dazu: | ||
| − | === Beispiel: Konstruktion von <math>\frac{1}{3}</math> === | + | ==== Beispiel: Konstruktion von <math>\frac{1}{3}</math> ==== |
Es soll hier zunächst die Konstruktionsidee skizziert werden, welche in ähnlicher Form in weiteren Konstruktionen angewandt werden wird: | Es soll hier zunächst die Konstruktionsidee skizziert werden, welche in ähnlicher Form in weiteren Konstruktionen angewandt werden wird: | ||
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Wir wollen erreichen, dass <math>x=\frac{1}{3} </math> | Wir wollen erreichen, dass <math>x=\frac{1}{3} </math> | ||
| − | Wir wissen, dass <math> X_L < x < X_R </math> . Wir füllen nun also <math>X_L </math> mit Zahlen, die kleiner sind als <math>\frac{1}{3}</math> und <math>X_R </math> mit entsprechend größeren. | + | Wir wissen, dass <math> X_L < x < X_R </math> . Wir füllen nun also <math>X_L </math> mit Zahlen, die kleiner sind als <math>\frac{1}{3}</math> und <math>X_R </math> mit entsprechend größeren. Wir benötigen also also zwei nach 1/3 konvergente Folgen in den dyadisch rationalen Zahlen (welche bereits existieren). Setze also <math>x= \{a_n \in (a)_n | b_n \in (b)_n\}</math>, wobei <math>(a)_n</math>eine monoton steigende und <math>(b)_n</math>eine monoton fallende Folge ist. |
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| + | <math>a_n=\frac{(4^n-1)/3}{4^n}</math> | ||
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| + | <math>b_n=\frac{(2^{2n+1}+1)/3}{2^{2n+1}}</math> | ||
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| + | Man kann sich leicht überlegen, dass die Folgen die gewünschten Eigenschaften besitzen. <!-- Hier eventuell noch genauere Erklärung einfügen. (Warum dyadisch rational/konvergent?) --> | ||
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| + | Da sich die zeellen Zahlen vollständig durch Cauchyfolgen konstruieren lassen, ist somit ganz <math>\mathbb{R} </math>an Tag ω erschaffen. <!-- Verlinkung zu ensprechender Gruppe einfügen --> | ||
Version vom 19. März 2021, 12:35 Uhr
Wird bearbeitet von Leonard, Luna und Thomas:
Tag ω und danach
Konstruktion von reellen Zahlen
Alle Zahlen, die wir durch Induktion über n erhalten haben, besitzen die Form [math]\frac{m}{2^n}, m,n \in \mathbb{N} [/math]. Alle diese Zahlen haben endliche Dezimaldarstellungen. Den Tag, an welchem alle diese Zahlen bereits existieren (also "ein Tag" nach abzählbar unendlich vielen Tagen) und wir mit diesen neue Zahlen erschaffen, nennen wir Tag ω. Wir werden sehen, dass sich nun auch Zahlen mit nicht endlichen Dezimaldarstellungen konstruieren lassen. Wir betrachten dazu:
Beispiel: Konstruktion von [math]\frac{1}{3}[/math]
Es soll hier zunächst die Konstruktionsidee skizziert werden, welche in ähnlicher Form in weiteren Konstruktionen angewandt werden wird:
Konstruktionsidee
Wir wollen erreichen, dass [math]x=\frac{1}{3} [/math]
Wir wissen, dass [math] X_L \lt x \lt X_R [/math] . Wir füllen nun also [math]X_L [/math] mit Zahlen, die kleiner sind als [math]\frac{1}{3}[/math] und [math]X_R [/math] mit entsprechend größeren. Wir benötigen also also zwei nach 1/3 konvergente Folgen in den dyadisch rationalen Zahlen (welche bereits existieren). Setze also [math]x= \{a_n \in (a)_n | b_n \in (b)_n\}[/math], wobei [math](a)_n[/math]eine monoton steigende und [math](b)_n[/math]eine monoton fallende Folge ist.
Ansatz
Setze
[math]a_n=\frac{(4^n-1)/3}{4^n}[/math]
und
[math]b_n=\frac{(2^{2n+1}+1)/3}{2^{2n+1}}[/math]
Man kann sich leicht überlegen, dass die Folgen die gewünschten Eigenschaften besitzen.
Da sich die zeellen Zahlen vollständig durch Cauchyfolgen konstruieren lassen, ist somit ganz [math]\mathbb{R} [/math]an Tag ω erschaffen.