Fourieranalyse: Unterschied zwischen den Versionen

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<math> f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \:  f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) +  
 
<math> f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \:  f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) +  
f( x^-)}{2} </math>
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f( x^-)}{2} \\  f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\  f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} </math>
  
 
Nun können wir die Aussage dieses Abschnitts formulieren:  
 
Nun können wir die Aussage dieses Abschnitts formulieren:  
  
 
'''Konvergenzsatz von Dirichlet'''
 
'''Konvergenzsatz von Dirichlet'''
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Sei <math> \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2\pi \; </math>-periodisch und integrierbar auf <math> [ 0, 2π ] </math>. Sei <math> x  \in  \mathbb{R} </math> derart, dass <math> f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, </math> und <math> \, f´(x^−) \, </math> existieren. Dann gilt <math> \, FS(f)(x) = f(x^+_-) </math>.
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Insbesondere gilt also, falls <math> \, f \, </math> in <math>\,  x \, </math> stetig ist, <math> \, FS(f)(x) = f(x) </math>.
 
===Beispiele===
 
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Version vom 19. August 2021, 17:28 Uhr

Einleitung

Fourier-Reihen

Anschauung

Summendarstellung

Beweis der Konvergenz einer Reihendarstellung

Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein [math] \: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} [/math] und ein [math] x /in \mathbb{R} [/math] im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten

[math] f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) + f( x^-)}{2} \\ f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\ f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} [/math]

Nun können wir die Aussage dieses Abschnitts formulieren:

Konvergenzsatz von Dirichlet

Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2\pi \; [/math]-periodisch und integrierbar auf [math] [ 0, 2π ] [/math]. Sei [math] x  \in  \mathbb{R} [/math] derart, dass [math] f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, [/math] und [math] \, f´(x^−) \, [/math] existieren. Dann gilt [math] \, FS(f)(x) = f(x^+_-) [/math].


Insbesondere gilt also, falls [math] \, f \, [/math] in [math]\, x \, [/math] stetig ist, [math] \, FS(f)(x) = f(x) [/math].

Beispiele

Zeichnen mit Fourierreihen

Fouriertransformation

Inverse Fouriertransformation

Man kann diese Transformation auch in die andere Richtung vollziehen. Diese inverse Transformation lautet dann:

[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\mathbb{R}^n}\ (\mathbb{F}f)\ (y)\ e^{iy\dot x} dy [/math]

Anwendungsbeispiele

Quellen

Weiterführende Links