Fourieranalyse: Unterschied zwischen den Versionen

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<!-- Moritz -->
 
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==Einleitung==
 
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==Fourier-Reihen==  
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==Fourier-Reihen==
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===Anschauung===
 
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===Summendarstellung=== <!--inklusive Berechnung der Koeffizienten -->
 
===Summendarstellung=== <!--inklusive Berechnung der Koeffizienten -->
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Wir betrachten zunächst eine bezüglich des Intervalls <math> [ - \pi, \pi]</math>  <math>2 \pi</math>--periodische, abschnittsweise stetige und integrierbare Funktion <math>f</math>.
  
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<!-- Pirmin -->
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Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion <math> f</math> ist eine Reihendarstellung aus
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===Konvergenz einer Reihendarstellung===
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komplexwertiger <math>e</math>-Funktionen:
  
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Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein <math> \: f: \mathbb{R} \rightarrow
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:<math> \displaystyle f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx}~, c_k \in \mathbb{C}</math>
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\mathbb{C} </math> und ein <math> x /in \mathbb{R} </math> im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten
 
  
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<math> f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \:  f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \:  \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) +
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Dies lässt sich auch umschreiben:
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f( x^-)}{2} \\  f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\  f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} </math>
 
  
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Nun können wir die zentrale Aussage dieses Abschnitts formulieren:  
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:<math> \displaystyle f = \sum_{k = -\infty} ^ \infty c_k e^{ikx} = c_0 + \sum_{k = 1} ^\infty (c_k + c_{-k}) \cos (kx) + i(c_k - c_{-k}) \sin (kx)
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:= \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx) </math>
  
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'''Konvergenzsatz von Dirichlet'''
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mit <math> a_k = c_k + c_{-k} </math>, <math> b_k = i(c_k - c_{-k}) </math> und insbesondere <math> a_0 = 2c_0 </math>. Es ist ersichtlich, dass die <math>2\pi</math>-periodische Funkion <math>f</math> als gewichtete Summe aller
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<math>2\pi</math>-periodischen Sinus und Cosinus dargestellt wird.
  
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Sei <math> \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \; 2\pi \; </math>-periodisch und integrierbar auf <math> [ 0, 2π ] </math>. Sei <math> x  \in  \mathbb{R} </math> derart, dass <math> f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, </math> und <math> \, f´(x^−) \, </math> existieren. Dann gilt <math> \, FS(f)(x) = f(x^+_-) </math>.
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===Berechnung der Koeffizienten===
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Ist eine Funktion <math>f</math> gegeben, so müssen nur die Koeffizienten <math>c_k</math> bestimmt werden. Hierfür ist folgende Beobachtung essenziell, für <math>k \neq 0</math>:
  
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:<math> \displaystyle \int_{-\pi}^ \pi e^{ikx} \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos (kx) \text{d}x + i \int_{-\pi}^{\pi} \sin (kx) \text{d}x =
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\big[- \frac{1}{m} \sin (kx) \big]_{-\pi}^\pi + \big[ i \frac{1}{m} \cos (kx) \big]_{-\pi}^{\pi} = 0 </math>
  
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Insbesondere gilt also, falls <math> \, f \, </math> in <math>\,  x \, </math> differenzierbar ist, <math> \, FS(f)(x) = f(x) </math>.
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Für <math>k = 0</math> ist das Integral trivialerweise 1. Somit gilt der Zusammenhang
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|'''Beweis'''
 
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|Wir definieren zunächst:
 
  
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Für alle <math> n \in \mathbb{N} </math> heiße die Funktion <math> D_n: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{C}, \; x \mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx} \\ </math>
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:<math> \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \text{d}x = \int_{-\pi}^\pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi  c_k e^{ikx} \text{d}x = c_0 </math>
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der ''n-te Dirichlet-Kern''.
 
  
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Nun benötigen wir erst einmal einige Hilfssätze.
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und
  
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'''Lemma 1:''' (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne)
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:<math> \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot e^{-inx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi  c_k e^{i(k-n) x} \text{d}x = c_n </math>
  
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Für alle <math> n \in \mathbb{N} </math> und alle <math> x  \in  \mathbb{R} \setminus \{ 2\pi a | a  \in  \mathbb{Z} \} </math> gilt
 
  
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<math> D_n(x)  = \frac{\sin(n x + x/2)}{\sin(x/2)} </math>.
 
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Weiter ist <math> D_n(2 \pi a)  =  2n + 1 </math>  für alle <math> \; a  \in \mathbb{Z} </math>.
 
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'''Beweis:'''
 
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Sei <math> x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 \pi a | a \in \mathbb{Z} \} </math>. Dann gilt
 
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<math> D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = e^{-inx} \sum_{k=0}^2n e^{ikx} </math>.
 
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Da gilt <math> e^{inx} \neq 1 </math>, folgern wir aus der Formel der Partialsummen einer geometrischen Reihe
 
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<math> \begin{align} D_n &= e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}} \\ \\
 
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&= \frac{e^{-inx}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{-\frac{x}{2}}} \frac{e^{i(2n+1)x}-1}{e^{ix}} \\ \\
 
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&= \frac{e^{i (n + \frac{1}{2}) x} − e^{−i (n + \frac{1}{2}) x}}{e^{\frac{i x}{2}} − e^{− i \frac{x}{2}}} \end{align} </math>
 
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Nun folgern wir aus der Euler-Formel für beliebige <math> \varphi \in \mathbb{R} : \; e^{i \varphi} - e^{-i \varphi} = 2i \sin(\varphi) </math>. Damit
 
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gilt
 
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<math> D_n(x) = \frac{\sin(nx + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} </math>.
 
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Des weiteren gilt für alle <math> a \in \mathbb{Z}: \; D_n(a2 \pi) = \sum_{k=-n}^{n}1 = 2n+1 </math>.
 
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'''Lemma 2:'''
 
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Sei <math> f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \; 2 \pi </math>-periodisch und integrierbar. Dann gilt für alle <math>
 
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n \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R} </math>
 
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<math> \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \, dt \\
 
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&= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt \end{align} </math>
 
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<!-- Pirmin -->
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===Beweis der Konvergenz einer Reihendarstellung===
 
===Beispiele===
 
===Beispiele===
  
 
<!-- dritter Mensch -->
 
<!-- dritter Mensch -->
 
===Zeichnen mit Fourierreihen===
 
===Zeichnen mit Fourierreihen===
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==Fouriertransformation==
 
==Fouriertransformation==
  
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<!-- Danielle -->
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<!-- vierter Mensch -->
 
===Inverse Fouriertransformation===
 
===Inverse Fouriertransformation===
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Man kann diese Transformation auch in die andere Richtung vollziehen. Diese inverse Transformation lautet dann:
 
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:::
 
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<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\mathbb{R}^n}\  (\mathbb{F}f)\ (y)\ e^{iy\dot x} dy </math>
 
 
==Anwendungsbeispiele==
 
==Anwendungsbeispiele==
  

Version vom 20. August 2021, 15:29 Uhr

Einleitung

Fourier-Reihen

Anschauung

Summendarstellung

Wir betrachten zunächst eine bezüglich des Intervalls [math] [ - \pi, \pi][/math] [math]2 \pi[/math]--periodische, abschnittsweise stetige und integrierbare Funktion [math]f[/math].

Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion [math] f[/math] ist eine Reihendarstellung aus komplexwertiger [math]e[/math]-Funktionen:

[math] \displaystyle f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx}~, c_k \in \mathbb{C}[/math]

Dies lässt sich auch umschreiben:

[math] \displaystyle f = \sum_{k = -\infty} ^ \infty c_k e^{ikx} = c_0 + \sum_{k = 1} ^\infty (c_k + c_{-k}) \cos (kx) + i(c_k - c_{-k}) \sin (kx) := \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx) [/math]

mit [math] a_k = c_k + c_{-k} [/math], [math] b_k = i(c_k - c_{-k}) [/math] und insbesondere [math] a_0 = 2c_0 [/math]. Es ist ersichtlich, dass die [math]2\pi[/math]-periodische Funkion [math]f[/math] als gewichtete Summe aller [math]2\pi[/math]-periodischen Sinus und Cosinus dargestellt wird.

Berechnung der Koeffizienten

Ist eine Funktion [math]f[/math] gegeben, so müssen nur die Koeffizienten [math]c_k[/math] bestimmt werden. Hierfür ist folgende Beobachtung essenziell, für [math]k \neq 0[/math]:

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^ \pi e^{ikx} \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos (kx) \text{d}x + i \int_{-\pi}^{\pi} \sin (kx) \text{d}x = \big[- \frac{1}{m} \sin (kx) \big]_{-\pi}^\pi + \big[ i \frac{1}{m} \cos (kx) \big]_{-\pi}^{\pi} = 0 [/math]

Für [math]k = 0[/math] ist das Integral trivialerweise 1. Somit gilt der Zusammenhang

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \text{d}x = \int_{-\pi}^\pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{ikx} \text{d}x = c_0 [/math]

und

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot e^{-inx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{i(k-n) x} \text{d}x = c_n [/math]


Beweis der Konvergenz einer Reihendarstellung

Beispiele

Zeichnen mit Fourierreihen

Fouriertransformation

Inverse Fouriertransformation

Anwendungsbeispiele

Quellen

Weiterführende Links

Abgerufen von „https://funfacts.mathi.uni-heidelberg.de/index.php?title=Fourieranalyse&oldid=4227“