Fourieranalyse

Die Fourier Reihe, bzw. die Fourier Transformation ist ein wichtiges Werkzeug der modernen Mathematik, Physik und Signalanalyse, und hat somit große praktische Bedeutung. Eine Fourierreihe ist eine Darstellung einer periodischen Funktion als Reihe von Sinus- und Kosinusschwingungen verschiedener Frequenzen. Die Fourier Transformation ist eine Verallgemeinerung hiervon; sie bildet auch aperiodische Funktionen auf ein Frequenzspektrum ab, bildlich gesprochen "wie viel von einer Frequenz in der Funktion vor kommt".

Ein klassisches Beispiel ist die Kompression von Audiodateien, beispielsweise MP3: Hierbei wird das gegebene Signal per Fouriertransformation in die einzelnen Frequenzen aufgespalten, sowieso nicht für Menschen hörbare, aber trotzdem vorhandene Frequenzen, werden gelöscht, und das ganze wird zu einer erheblich kleineren Datei rücktransformiert.

Fourier-Reihen

Summendarstellung

Wir betrachten zunächst eine bezüglich des Intervalls [math] [ - \pi, \pi][/math] [math]2 \pi[/math]-periodische, abschnittsweise stetige und integrierbare Funktion [math]f[/math].

Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion [math] f[/math] ist eine Reihendarstellung aus komplexwertiger [math]e[/math]-Funktionen:

[math] \displaystyle f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx}~, c_k \in \mathbb{C}[/math]

Dies lässt sich auch umschreiben:

[math] \displaystyle f = \sum_{k = -\infty} ^ \infty c_k e^{ikx} = c_0 + \sum_{k = 1} ^\infty (c_k + c_{-k}) \cos (kx) + i(c_k - c_{-k}) \sin (kx) := \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx) [/math]

mit [math] a_k = c_k + c_{-k} [/math], [math] b_k = i(c_k - c_{-k}) [/math] und insbesondere [math] a_0 = 2c_0 [/math]. Es ist ersichtlich, dass die [math]2\pi[/math]-periodische Funkion [math]f[/math] als gewichtete Summe aller [math]2\pi[/math]-periodischen Sinus und Kosinus dargestellt wird.

Berechnung der Koeffizienten

Ist eine Funktion [math]f[/math] gegeben, so müssen nur die Koeffizienten [math]c_k[/math] bestimmt werden. Hierfür ist folgende Beobachtung essenziell, für [math]k \neq 0[/math]:

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^ \pi e^{ikx} \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos (kx) \text{d}x + i \int_{-\pi}^{\pi} \sin (kx) \text{d}x = \big[- \frac{1}{m} \sin (kx) \big]_{-\pi}^\pi + \big[ i \frac{1}{m} \cos (kx) \big]_{-\pi}^{\pi} = 0 [/math]

Für [math]k = 0[/math] ist das Integral trivialerweise 1. Somit gilt der Zusammenhang

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \text{d}x = \int_{-\pi}^\pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{ikx} \text{d}x = c_0 [/math]

und

[math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot e^{-inx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{i(k-n) x} \text{d}x = c_n [/math]

Konvergenz einer Reihendarstellung

Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein [math] \: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} [/math] und ein [math] x \in \mathbb{R} [/math] im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten

[math] f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) + f( x^-)}{2} \\ f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\ f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} [/math]

Nun können wir die zentrale Aussage dieses Abschnitts formulieren:

Konvergenzsatz von Dirichlet

Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2\pi[/math]-periodisch und integrierbar auf [math] [ 0, 2π ] [/math]. Sei [math] x  \in  \mathbb{R} [/math] derart, dass [math] \, f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, [/math] und [math] \, f´(x^−) \, [/math] existieren. Dann gilt [math] \, FS(f)(x) = f(x^+_-) [/math].

Insbesondere gilt also, falls [math] \, f \, [/math] in [math]\, x \, [/math] differenzierbar ist, [math] \, FS(f)(x) = f(x) [/math].

Beweis

Wir definieren zunächst: Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] heiße die Funktion [math] D_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \; x \mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx} \\ [/math] der n-te Dirichlet-Kern. Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis des Satzes beginnen, lagern wir einige Aussagen in Hilfssätze aus: Lemma 1: (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne) Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] und alle [math] x  \in  \mathbb{R} \setminus \{ 2\pi a \, |\, a  \in  \mathbb{Z} \} [/math] gilt [math] D_n(x)  = \frac{\sin(n x + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} [/math]. Weiter ist [math] D_n(2 \pi a)  =  2n + 1 [/math]  für alle [math] \; a  \in \mathbb{Z} [/math]. Beweis: Sei [math] x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 \pi a | a \in \mathbb{Z} \} [/math]. Dann gilt [math] D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = e^{-inx} \sum_{k=0}^{2n} e^{ikx} [/math]. Da gilt [math] e^{inx} \neq 1 [/math], folgern wir aus der Formel der Partialsummen einer geometrischen Reihe [math] \begin{align} D_n &= e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{-inx}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{-\frac{x}{2}}} \frac{e^{i(2n+1)x}-1}{e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{i (n + \frac{1}{2}) x} − e^{−i (n + \frac{1}{2}) x}}{e^{\frac{i x}{2}} − e^{− i \frac{x}{2}}} \end{align} [/math] Nun folgern wir aus der Euler-Formel für beliebige [math] \varphi \in \mathbb{R} : \; e^{i \varphi} - e^{-i \varphi} = 2i \sin(\varphi) [/math]. Damit gilt [math] D_n(x) = \frac{\sin(nx + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} [/math]. Des weiteren gilt für alle [math] a \in \mathbb{Z}: \; D_n(a2 \pi) = \sum_{k=-n}^{n}1 = 2n+1 [/math]. Lemma 2: Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \; 2 \pi [/math]-periodisch und integrierbar. Dann gilt für alle [math] n \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R} [/math] [math] \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt \end{align} [/math] Beweis: Sei [math] n \in \mathbb{N} [/math], dann gilt für alle [math] x \in \mathbb{R} [/math] laut der Formel für die Koeffizienten einer Fourier-Reihe [math] \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \int_{0}^{2 \pi} f(t)e^{-ikx} \, dt \; e^{ikx} \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \sum_{k=-n}^{n} e^{ik(t-x)} \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \end{align} [/math]. Des weiteren können wir durch die Substitutionsregel mit [math] "t=x-y" [/math] folgern [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{x}^{x-2 \pi} -f(x-y) D_n(y) \, dy [/math] Da [math] \, f [/math] und [math] D_n \; 2\pi[/math]-periodisch sind, gilt somit [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{x}^{x-2 \pi} -f(x-y) D_n(y) \, dy = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt [/math]. Analog zeigt man durch Substitution mit [math] t=x+y [/math] unter Verwendung von [math] D_n(-t) = D_n(t) [/math], dass gilt [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt [/math]. Lemma 3: (Lemma von Riemann) Sei [math] \, f: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} [/math] integrierbar. Dann gilt [math] \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) sin(\lambda x) \, dx = \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) cos(\lambda x) \, dx = 0 [/math] Selbiges gilt für [math] "\lambda \rightarrow -\infty" [/math] Beweis: Wir wollen das Lemma durch das [math] \varepsilon [/math]-[math] \delta [/math]-Kriterium beweisen. Dazu zeigen wir die Aussage zuerst für Treppenfunktionen. Sei dazu [math] (t_k)_{t \leq r} [/math] eine Partition von [math] [a,b] [/math] aufsteigende Folge mit [math] t_0 = a, \; t_r=b, \; c_k \in \mathbb{C} [/math] für alle [math] k \lt r [/math] und [math] g: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} [/math] gegeben durch [math] g(x):=c_k [/math] für [math] t_k \leq x \lt t_k+1 [/math]. Nun gilt für [math] \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} [/math] [math] \begin{align} \Bigl| \int_a^b g(x) sin(\lambda x) \, dx \Bigl| &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} \int_{t_k}^{t_{k+1}} g(x) sin(\lambda x) \, dx \Bigl| \\ &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} c_k \int_{t_k}^{t_{k+1}} sin(\lambda x) \, dx \Bigl| \\ &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} c_k \Bigl[\frac {cos(\lambda x)}{\lambda} \Bigl]_{t_k}^{t_{k+1}} \, dx \Bigl| \\ &\leq \frac{2}{n} \Bigl| \sum_{k=1}^{r} c_k \Bigl|. \end{align} \\ \\ \Rightarrow \int_a^b g(x) sin(\lambda x) \, dx \overset{\lambda \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 [/math] Nun gilt nun Sei [math] \, f: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} [/math] integrierbar und [math] \varepsilon \gt 0 [/math]. Dann existiert eine Treppenfunktion g, so dass gilt [math] \Bigl| \int_a^b f(x)-g(x) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} [/math]. (Die Integrierbarkeit von [math] \, f [/math] impliziert dessen Aproximierbarkeit durch Treppenfunktionen) Sei nun [math] N \in \mathbb{N} [/math] so gewählt, dass für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] gilt [math] n\gt N \Rightarrow \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} [/math]. Dann gilt für alle [math] n \gt N [/math] [math] \begin{align} \Bigl| \int_a^b f(x) sin(nx) \, dx \Bigl| &= \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) sin(nx) \, dx + \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &\leq \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) sin(nx) \, dx \Bigl| + \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &\leq \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) \, dx \Bigl| + \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align} [/math] Nun können wir zu dem eigentlichen Beweis unseres Satzes schreiten. Zuerst stellen wir fest [math] \int_{- \pi}^{\pi} D_n(x) \, dx = \sum_{k=-n}^{n} \int_{- \pi}^{\pi} e^{ikx} \, dx = \int_{- \pi}^{\pi} e^{i0x} \, dx = 2\pi [/math]. Da nach der Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne gilt [math] D_n(x) = \frac{\sin(n x + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{-\sin(-n x - \frac{x}{2})}{-\sin(-\frac{x}{2})} = \frac{\sin(-n x - \frac{x}{2})}{\sin(-\frac{x}{2})} = D_n(-x) [/math], können wir folgern [math] \int_{- \pi}^{0} D_n(x) \, dx =\int_{0}^{\pi} D_n(x) \, dx = \pi [/math] Damit gilt [math] \; f(x^+_-) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{0} f(x^+) D_n(x) \, dx + \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} f(x^-)D_n(x) \, dx. [/math] Unter Zuhilfenahme von Lemma 2 folgern wir [math] 2\pi \Bigl|FS_n(f)(x) − f (x^+_-)\Bigl|  =  \Bigl| \int_{- \pi}^{0} (f (x + t) − f (x^-)) Dn(t) \, dt  +  \int_{0}^{\pi} (f (x + t) − f (x^+)) Dn(t) \, dt \Bigl| [/math]. Nun definieren wir [math] g_-: [- \pi, 0] \rightarrow \mathbb{C} \; g_+: [0, \pi] \rightarrow \mathbb{C} [/math] durch [math] g_-(t):=\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}\frac{t}{sin(\frac{t}{2})} [/math] für [math] t \in [- \pi, 0) [/math] [math] g_+(t):=\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}\frac{t}{sin(\frac{t}{2})} [/math] für [math] t \in (0, \pi] [/math] Des weiteren sei [math] g_-(0):= \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x^-)}{sin(\frac{t}{2})}, \; \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x^-)}{sin(\frac{t}{2})} [/math] (Da laut Annahme [math] f´(x^-), \, f´(x^+) [/math] existieren und [math] \frac{d}{dt} \Bigl(sin(\frac{t}{2})\Bigl)(0) = \frac{1}{2} \neq 0 [/math] gilt, gibt es die entsprechenden Limiten) Nun können wir die Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne in die obige Formel einsetzen und erhalten [math] 2\pi \Bigl|FS_n(f)(x) − f (x^+_-)\Bigl| = \Bigl| \int_{- \pi}^{0} g_- sin((n + \frac{1}{2})t) \, dt  +  \int_{0}^{\pi} g_+ sin((n + \frac{1}{2})t) \, dt \Bigl| [/math]. (Zwar gilt [math] (f (x + t) − f (x^-)) Dn(t) = g_- sin((n + \frac{1}{2})t) [/math] und [math] (f (x + t) − f (x^+)) Dn(t)=g_+ sin((n + \frac{1}{2})t) [/math] lediglich für alle [math] t \in \mathbb{R} \setminus \{ 2\pi a \, |\, a  \in  \mathbb{Z} \} [/math], das reicht aber aus, um die Gleichheit der jeweiligen Integrale zu gewährleisten) [math] g_-, \, g_+ [/math] sind nach ihrer Konstruktion stetig und damit integrierbar. Damit können wir das Lemma von Riemann anwenden und schließen: [math] 2\pi \Bigl|FS_n(f)(x) − f (x^+_-)\Bigl| \; \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \; 0 \\ \Rightarrow FS(f)(x) = f(x^+_-) [/math]

Beispiele

Beispiel 1:

Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2 \pi [/math]-periodisch und auf [math] [0, 2 \pi) [/math] gegeben durch

[math] f(x):= \begin{cases} x, \; 0 \leq x \leq \pi \\ \\ 2\pi - x, \pi \lt x \lt 2 \pi\; \end{cases} [/math]

Da [math] \, f [/math] stetig ist und für alle [math] x \in \mathbb{R} \; \; f´(x^-), \, f´(x^+) [/math] existieren, gilt nach dem Satz von Dirichlet [math] \, f=FS(f) [/math]. Im folgenden berechnen wir, wie oben beschrieben, die Koeffizienten dieser Fourier-Reihe:

[math] \begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \, dx = \frac{2 \pi }{ 2 \pi^2} = \pi \end{align} [/math]

Approximationen von f durch Partialsummen von FS(f)

Sei nun [math] n \in \mathbb{R} [/math], dann gilt

[math] \begin{align} a_n &= \frac{1} {\pi} \int_0^{2\pi} f(x) cos(nx) \, dx \\ &= \frac{1} {\pi} \Bigl( \int_0^{\pi} xcos(nx) \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} 2\pi cos(nx) \, dx - \int_{\pi}^{2\pi} xcos(nx) \, dx \Bigl) \\ &= \frac{1} {\pi} \Bigl( 2\int_0^{\pi} xcos(nx) \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} 2\pi cos(nx) \, dx \Bigl)\\ &= \frac{1} {\pi} \Bigl(2\int_0^{\pi} xcos(nx) \, dx + \Bigl[ \frac{2\pi}{n} sin(nx) \Bigl]_{\pi}^{2\pi} \Bigl)\\ &= \frac{1} {\pi} \Bigl( 2\int_0^{\pi} xcos(nx) \, dx + 0 \Bigl) \end{align} [/math].

Weiter können wir durch partielle Integration berechnen:

[math] \begin{align} a_n &= \frac{2}{\pi} \Bigl( \Bigl[\frac{x}{n} sin(nx) \Bigl]_{0}^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{1}{n} sin(nx) \, dx \Bigl) \\ \\ &= \frac{2}{\pi} \Bigl( 0 - \Bigl[ \frac{1}{n} cos(nx) \Bigl]_{0}^{\pi} \Bigl) \\ \\ &= -\frac{2}{\pi} \Bigl[\frac{1}{n^2} cos(nx) \Bigl]_{0}^{\pi} \\ \\ &= \begin{cases} 0, \; \text{falls}\, n \, \text{gerade ist} \\ \\ -\frac{4}{\pi n^2}, \; \text{falls}\, n \, \text{ungerade ist} \end{cases} \end{align} [/math]

Des weiteren gilt:

[math] \begin{align} b_n &= \frac{1} {\pi} \int_0^{2\pi} f(x) sin(nx) \, dx \\ \\ &= \frac{1} {\pi} \Bigl( \int_0^{\pi} f(x) sin(nx) \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} f(x) sin(nx) \, dx \Bigl) \end{align} [/math].

Da aber für alle [math] \, x \in [0,\pi] [/math] gilt, [math] f(x)sin(x) = -f(x + \pi)sin(x+\pi) [/math] können wir daraus folgern [math] b_n = 0 [/math].

Fouriertransformation

Inverse Fouriertransformation

Diese Transformation ist invertierbar. Dies nennt man dann die inverse Fouriertransformation. Diese Umkehrung stellt sich wie folgt dar:

[math]F(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega)e^{i\omega t} d\omega[/math]

Beweis der Inversen

Nun wollen wir nachweisen, dass dies tatsächlich die Inverse der Fourier Transformation ist. Dafür setzen wir für [math]f(\omega)[/math] die obige Gleichung für die Transformation ein:

[math]\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega)e^{i\omega t} d\omega \\ = \frac{1}{2\pi}\int_{\omega = -\infty}^{\infty} (\int_{\tau = -\infty}^{\infty}F(\tau)e^{-i\omega \tau}d\tau)e^{i\omega t} d\omega \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{\tau = -\infty}^{\infty} F(\tau)(\int_{\omega = -\infty}^{\infty}e^{-i\omega (\tau -t)}d\omega) d\tau \\ = \int_{-\infty}^\infty F(\tau)\delta(\tau -t) d\tau \\ = f(t) [/math]

Quellen

• https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe Wikipedia: Fourierreihe
• https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series Wikipedia: Fourier series
• https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY 3Blue1Brown: But what is the Fourier Transform? A visual introduction.
• https://www.youtube.com/playlist?list=PL0S2AA6W_m55xj9EaL9mGsLRHd6z7Y3y5 Khan Akademy: Fourier Series
• https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k 3BlueBrown: But what is a Fourier series? From heat flow to drawing with circles | DE4
• https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_4_Z3 Oliver Deiser: Analysis 2 | Der Konvergenzsatz von Dirichlet
• http://www.num.uni-sb.de/rjasanow/dokuwiki/lib/exe/fetch.php?media=lehre:vorlesung:fourier-reihen.pdf Universität des Saarlandes, Prof. Dr. Sergej Rjasanow: Fourier-Reihen
• C. Schnörr: HM-2 für Physiker 2021, Fourierreihen (via MaMpf)
• Hans-Heinrich Körle: Die phantastische Geschichte der Anlaysis, Oldenbourg Verlag, 2. Auflage 2012
• https://web.stanford.edu/class/ee102/lectures/fourtran

Weiterführende Links

• https://olgaritme.com/posts/drawing-with-the-fourier-series/index.html