Magische Quadrate

Definition

Ein magisches Quadrat der Ordnung n beschreibt eine n×n Matrix, in welcher paarweise verschiedene ganze Zahlen, häufig 1,..., [math]n^2 [/math], so angeordnet sind, dass die Summe der Zeilen- und Spalteneinträgen dem gleichen Wert entspricht. Diesen nennt man die magischen Summe. Die summierten Einträge der Hauptdiagonalen sind ebenfalls gleich der magischen Summe. Man spricht von einem semimagischen Quadrat, falls die Hauptdiagonalen nicht der magischen Summe entsprechen.
Für die Einträge [math] 1,.., n^2 [/math] entspricht die magische Summe [math] s^* = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n^2} k[/math].

magische Quadrate niedriger Ordnung

<--! Im folgenden betrachten wir magische Quadrate mit niedriger Ordnung. Da durch komponentenweise Addition zweier magischer Quadrate und der Multiplikation mit einem Skalar sich nur die magische Summer ändert, aber die Eigenschaft des magischen Quadrats erhalten bleibt betrachten wir im folgenden nur ??? magische Quadrate. !-->

magische Quadrate 1-ter Ordnung

Magische Quadrate erster Ordnung besitzen nur einen Eintrag und sind somit trivial, da jeden 1×1-Matrix die Eigenschaft eines magischen Quadrates erfüllt.

magisches Quadrat 1-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} [/math] mit [math]a \in \mathbb{Z} [/math]

magische Quadrate 2-ter Ordnung

Nach der oben aufgeführten Definition von magischen existieren keine magischen Quadrate zweiter Ordnung. Vernachlässigt man die Bedingung der paarweise verschiedenen Einträge haben magische bzw. semimagische Quadrate folgende Form

magisches Quadrat 2-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a \in \mathbb{Z} [/math]

semimagisches Quadrat 2-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a & b \\ b & a\\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a, b \in \mathbb{Z} [/math]

magische Quadrate 3-ter Ordnung

Um den Aufbau eines magisches Quadrats dritter Ordnung zu verdeutlichen betrachten wir folgende Matrix

A= [math] \begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e & f\\ g & h & i \\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a, b,...,i \in \mathbb{Z} [/math]

Sei [math]s^* \in \mathbb{Z}[/math] die magische Summe so muss A folgende Eigenschaft erfüllen:

[math]s^* - e = a + i = b + h = c + g = f + d [/math] < br/> Daraus lässt sich folgern, dass [math]a + b + ... + h + i = 4* (s^*-e)+e [/math] gilt. Darüber hinaus gilt [math] a+b+...+h+i= 3s^*[/math] daraus folgt [math] s^* = 3e[/math]

Mit diesen zusätzlichen Vorraussetzungen lassen sich magische Quadrate der Ordnung 3 für die Zahlen 1,...,9 leicht konstruieren. Die magische Summe ergibt sich aus [math] s^* = \frac{1}{3} \sum\limits_{k=1}^{9} k = 15[/math] somit gilt [math]r=5 [/math] und [math] 10 = a + i = b + h = c + g = f + d[/math]. Es gilt [math] 10 = 1+9 = 2+8 = 3 + 7= 4+6[/math]. Nehmen wir nun a=1 an, so erhalten wir [math]14 = b+c = d+g [/math] und [math] 6 = f+c =h+g[/math]. Da es je nur ein Paar gibt, welches gleich 14 bzw. gleich 5 ist folgt, dass die Werte 1 und 9 nicht in einer der Ecken liegen können. Des Weiteren ist 1 stets von 6 und 8 umgeben und 9 stets von 2 und 4. Daraus ergeben sich folgende mögliche magische Quadrate:

[math] \begin{bmatrix} 6 & 1 &8 \\ 7 & 5 & 3\\ 2 & 9 & 4 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 8 & 1 &6 \\ 3 & 5 & 7\\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 2 & 7 &6 \\ 9 & 5 & 1\\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 4 & 3 &8 \\ 9 & 5 & 1\\ 2 & 7 & 6 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 2 & 9 &4 \\ 7 & 5 & 3\\ 6 & 1 & 8 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 4 & 9 &2 \\ 3 & 5 & 7\\ 8 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 6 & 7 &2 \\ 1 & 5 & 9\\ 8 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 8 & 3 &4 \\ 1 & 5 & 9\\ 6 & 7 & 2 \\ \end{bmatrix} [/math]

Einzelnachweise/Literaturverzeichnis

Beck, Matthias; Robins, Sinai: Das Kontinuum diskret berechnen. Kapitel 6.
Sesiano, Jacques: Magic Squares-Their History and Construction from Ancient Times to AD 1600.

AutorInnen

Julia Renner
Joanna Schnorr
Julia Bohn

Vorlage

Überschrift 1

Überschrift 2

Hier kann man ganz normal schreiben :)

[math] \text{hier müsste es wie in der Latex equation-Funktion Formeln schreiben können } x \in \mathbb{N} : x \in \mathbb{R} [/math]

1. nummerierte Aufzählungen
   1. neue Ebene
      1. usw.

• Aufzählung mit Punkt
  • tiefere Ebene

  - Was passiert hier

Aufzählung ohne Zeichen

Unterpunkt

Aufzählung 2 ohne Zeichen

Hier wird etwas wichtiges zitiert

hier könnte Ihr eingerückter Text stehen

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