Anwendungen der Knotentheorie

Schuhe binden

Links eine Überkreuz- und rechts eine Sägezahnschnürung

Was ist der effizienteste Weg, seine Schuhe zu binden? Ist es eine klassische Überkreuzbindung?

Wir gehen von einem idealen Schuh aus, welcher [math] 2n [/math] Ösen besitzt, [math]n\in \mathbb{N}[/math] auf jeder Seite, um die Schnürsenkel zu binden. Um den Schnürsenkel mathematisch beschreiben zu können, muss er geschlossen sein. In der realen Welt ließe sich dies durch das Binden einer Schleife realisieren. Unsere Schnürung besteht aus [math]2n[/math] Segmenten, wobei ein Segment jeweils die Verbindung zwischen zwei Ösen ist. Das heißt demzufolge auch, dass jede Öse nur einmal verwendet wird. Als weitere Anforderung verlangen wir, dass mindestens eines der beiden einlaufenden Schnürsenkelsegmente je Öse seinen Ursprung in der anderen Reihe der Ösen besitzt. Damit wollen wir sicherstellen, dass die zwei Seiten des Schuhs wirklich festgezogen werden.

Besitzt der Schuh auf jeder Seite gerade [math] n=1[/math] Löcher, so gibt es genau eine Möglichkeit, seinen Schuh zu binden. Betrachten wir also nun einen Schuh mit [math] n\geq2[/math] Löchern auf jeder Seite. Die Anzahl der möglichen Schnürungen bei [math] n[/math] Löchern ergibt sich zu

[math]\#(n)= \frac{(n!)^2}{2} \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{n-k}\binom{n-k}{k}^2 [/math]

mit [math] m=n/2[/math] für gerade [math]n[/math] und [math]m=(n-1)/2[/math] für ungerade [math]n[/math].

Die Länge einer Schnürung ist die Summe aus allen einzelnen Teilsegmenten. Unter der Verwendung von Symmetrien und Vereinfachungen ergibt sich folgendes Muster für die kürzeste Schnürung unter unseren Vorraussetzungen, wobei hier allerdings noch zwischen [math]n[/math] gerade oder ungerade unterschieden werden muss:

Links für [math]n[/math] gerade, rechts zwei Möglichkeiten, wenn [math]n[/math] ungerade ist.

Diese Schnürung ist allerdings nicht die stärkste. Der Schnürsenkel funktioniert wie ein Flaschenzug, wenn er die zwei Reihen zusammenzieht. Allerdings hängt die Stärke der Schnürung vom Verhältnis der Abstände zwischen den einzelnen Ösen und den beiden Reihen ab. Es lässt sich ein kritisches Verhältnis [math]x_n[/math] finden, sodass für [math]x\leq x_n[/math] die stärkste Verbindung Überkreuz ist und für die Sägezahnschnürung die stärkste Verbindung ist. Für reale Schuhe hingegen ist dieses Verhältnis meistens in der Nähe von [math] x_n[/math], sodass die Art der Bindung keine entscheidende Rolle spielt.