Benutzer:Rk192: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. September 2021, 11:32 Uhr

Berechnung von Homologie mittels Smith-Normalform

Was ist Homologie?
Smith-Normalform
Beispiel

Was ist Homologie?

Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen [math]\operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.

Die Homologiegruppen

Komplex:

Zunächst müssen wir verstehen, was ein sogenannter Komplex ist. Dies geht allerdings sehr rasch; ein Komplex ist eine Folge von Moduln [math]A_n [/math] über einem Ring [math]R [/math] zusammen mit Übergangsabbildungen [math]d_n : A_n \to A_{n-1} [/math], sodass die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Übergangsabbildungen null ergibt, also, dass für alle [math] n \in \mathbb{N}[/math] gilt [math] d_n \circ d_{n-1} = 0[/math].

Homologie:

Darauf aufbauend ist die Homologie jetzt einfach definiert als:

[math]\operatorname{H}_n := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math]

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 ===== Komplex: =====
-Zunächst müssen wir verstehen, was ein sogenannter Komplex ist. Dies geht allerdings sehr rasch; ein Komplex ist eine Folge von Moduln <math>A_n </math> über einem Ring <math>R </math> zusammen mit Übergangsabbildungen <math>d_n : A_n \to A_{n-1} </math>, sodass die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Übergangsabbildungen null ergibt, also, dass für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> gilt  <math> d_n \circ d_{n-1} = 0</math> gilt.
+Zunächst müssen wir verstehen, was ein sogenannter Komplex ist. Dies geht allerdings sehr rasch; ein Komplex ist eine Folge von Moduln <math>A_n </math> über einem Ring <math>R </math> zusammen mit Übergangsabbildungen <math>d_n : A_n \to A_{n-1} </math>, sodass die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Übergangsabbildungen null ergibt, also, dass für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> gilt  <math> d_n \circ d_{n-1} = 0</math>.
 ===== Homologie: =====