Benutzer:Rk192: Unterschied zwischen den Versionen
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Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von <math>R</math>-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von <math>R</math>-Moduln <math>(A_n)_{n \in \mathbb{Z}}</math> zusammen mit Übergangsabbildungen <math>(d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}</math>, sodass | Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von <math>R</math>-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von <math>R</math>-Moduln <math>(A_n)_{n \in \mathbb{Z}}</math> zusammen mit Übergangsabbildungen <math>(d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}</math>, sodass | ||
: <math>d_n \circ d_{n+1} = 0</math> | : <math>d_n \circ d_{n+1} = 0</math> | ||
| − | für jedes <math>n \in \mathbb{Z}</math> gilt. | + | für jedes <math>n \in \mathbb{Z}</math> gilt. Ein Komplex ist also ein Digramm |
| + | : <math> ... \rightarrow A_{n+1} \rightarrow A_n \rightarrow A_{n-1} \rightarrow ...</math> | ||
===== Homologie: ===== | ===== Homologie: ===== | ||
Darauf aufbauend ist die Homologie jetzt einfach definiert als: | Darauf aufbauend ist die Homologie jetzt einfach definiert als: | ||
<math>\operatorname{H}_n := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) </math> | <math>\operatorname{H}_n := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) </math> | ||
Version vom 10. September 2021, 12:18 Uhr
Berechnung von Homologie via Smith Normalform
Smith Normalform
Die Smith Normalform einer Matrix [math] M [/math] über einem Hauptidealring [math] R [/math] ist eine Matrix der Gestalt
- [math] \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & \dots & 0 \\ & & \ddots \end{pmatrix} == Was ist Homologie? == Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen \lt math\gt \operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.
Die Homologiegruppen
Sei [math]R[/math] ein Hauptidealring.
Komplex:
Zunächst müssen wir verstehen, was ein sogenannter Komplex ist. Dies geht allerdings sehr rasch; ein Komplex ist eine Folge von Moduln [math]A_n [/math] über einem Ring [math]R [/math] zusammen mit Übergangsabbildungen [math]d_n : A_n \to A_{n-1} [/math], sodass die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Übergangsabbildungen null ergibt, also, dass für alle [math] n \in \mathbb{N}[/math] gilt [math] d_n \circ d_{n-1} = 0[/math]. Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von [math]R[/math]-Moduln [math](A_n)_{n \in \mathbb{Z}}[/math] zusammen mit Übergangsabbildungen [math](d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}[/math], sodass
- [math]d_n \circ d_{n+1} = 0[/math]
für jedes [math]n \in \mathbb{Z}[/math] gilt. Ein Komplex ist also ein Digramm
- [math] ... \rightarrow A_{n+1} \rightarrow A_n \rightarrow A_{n-1} \rightarrow ...[/math]
Homologie:
Darauf aufbauend ist die Homologie jetzt einfach definiert als:
[math]\operatorname{H}_n := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math]