Mandelbrotmenge

Informationen zur Mandelbrotmenge folgen.

Julia-Menge

Hintergrund Mansur

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Grundlegende Eigenschaften Selin

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Mandelbrot-Menge

Definition über die Julia-Mengen Danielle

Die Mandelbrotmenge wurde zur Klassifizierung der Julia-Mengen definiert. Sie umfasst die Teilmenge der komplexen Zahlen, für welche die Julia Menge zusammenhängend ist. Die Mandelbrotmenge lässt sich rekursiv, wie folgt definieren:

[math] z_{n+1}=z_n^2+c [/math] mit [math]z_0 = 0 [/math]

Abhängig von der Definition der Juliamenge lässt sich die Mandelbrotmenge, wie folgt definieren:

[math]M=\{c\in \mathbb{C}\mid J_c \text{ ist zusammenhängend}\}[/math]

Weitere Definitionen der Mengen sind:

[math] M=\{c\in\mathbb{C}\mid f^n_c(0)\not\to\infty\text{, wenn } n\to \infty\}=\{c\in\mathbb{C}\mid (z_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ ist beschränkt}\}[/math]

Diese Darstellungen lassen sich mithilfe der oberen Definition beweisen. http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws06_07/seminar_fraktale/ausarbeitung_voelkel.pdf

Grundlegende Eigenschaften Danielle

Grenzverhalten ausgewählter Funktionen

Für verschiedene Punkte [math]c\in\mathbb{C}[/math] lassen sich vier verschiedene Grenzverhalten beobachten:

• Konvergenz gegen einen Punkt
• Die Glieder bilden einen Zyklus mit zwei oder mehr Werten
• chaotisches aber beschränktes Verhalten der Glieder
• Divergenz gegen unendlich

Ein Punkt [math]c\in\mathbb{C}[/math] ist in [math]M[/math] falls er eines der ertsen drei Grenzverhalten aufzeigt.

Betrachten wir das Grenzverhalten der Funktion [math]z_{n+1}=z_n^2+c[/math]

Parameter (c)	Folgeglieder (z_2, z_3, z_4,...)	Grenzverhalten	Ist c in M?
1	2, 5, 26,...	bestimmte Divergenz gegen [math]\infty[/math]	[math]1\notin M[/math]
0	0, 0, 0,...	Konvergenz gegen 0	[math]0\in M[/math]
-1	0, -1, 0,...	Zweierzyklus	[math]-1\in M[/math]
i	-1+i, -i, -1+i,...	Zweierzyklus	[math]i\in M[/math]
-1,5	0,75, [math] -\frac{15}{16}[/math], [math] -\frac{159}{256}[/math],...	Chaos (beschränkt)	[math]-1,5\in M[/math]
-2	2, 2, 2,...	Konvergenz gegen 2	[math]2\in M[/math]
0,25	[math] \frac{5}{16}[/math], [math] \frac{89}{256}[/math], [math] \frac{24305}{65536}[/math],...	KOnvergenz gegen 0,5	[math]0,25\in M[/math]

M ist kompakt

Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen, da ihr Komplement offen ist. Außerdem liegt sie innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit Radius 2, daraus folgt Beschränktheit.

[math]M\subset B_2(0)\subset \mathbb{C}[/math]

Nach dem Satz von Heine-Borel folgt somit Kompaktheit.

M ist zusammenhängend

Diese Tatsache wurde 1984 von Adrien Douady und John Hamal Hubbard bewiesen. Ob sie auch lokal zusammenhängend ist, ist noch eine offene Frage.

Geschichte Hannah

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