Surreale Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen

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<u>Grundidee</u>: jede surreale Zahl ''x'' lässt sich als ''x'' = [{''L''|''R''}] mit zwei Mengen ''L'' (linke Menge von x) und ''R'' (rechte Menge von x) schreiben, wobei gelten soll:  
 
<u>Grundidee</u>: jede surreale Zahl ''x'' lässt sich als ''x'' = [{''L''|''R''}] mit zwei Mengen ''L'' (linke Menge von x) und ''R'' (rechte Menge von x) schreiben, wobei gelten soll:  
 
* ''L'' und ''R'' sind selber Mengen surrealer Zahlen
 
* ''L'' und ''R'' sind selber Mengen surrealer Zahlen
* Jedes Element aus ''L'' ist kleiner als jedes Element aus ''R''
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* Jedes Element aus ''L'' ist kleiner als jedes Element aus ''R (siehe <u>Ordnungsrelation</u>)''
''(Wohlgeformtheit)''
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*  Wohlgeformtheit: Es muss x <= x gelten
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Die so entstandene Zahl x ist größer als jedes Element aus L und kleiner als jedes Element aus R.
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<u>Notation</u>: wir schreiben der Einfachheit halber {''a'',''b''|''x''<nowiki>} statt [{{</nowiki>''a'',''b''}|{''x''<nowiki>}}] und {|</nowiki>''y''} statt [{''∅''|{''y''<nowiki>}}].</nowiki>
 
<u>Notation</u>: wir schreiben der Einfachheit halber {''a'',''b''|''x''<nowiki>} statt [{{</nowiki>''a'',''b''}|{''x''<nowiki>}}] und {|</nowiki>''y''} statt [{''∅''|{''y''<nowiki>}}].</nowiki>
  
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(Quantorenschreibweise: ''x''≤''y'' :<big>⇔</big> <big>∀</big>''l''<sub>x</sub><big>∈</big>''L''<small><sub>x</sub></small>:''l''<sub>x</sub><''y'', <big>∀</big>''r''<sub>y</sub><big>∈</big>''R''<sub>y</sub>:''r''<sub>y</sub>>''x)''
 
(Quantorenschreibweise: ''x''≤''y'' :<big>⇔</big> <big>∀</big>''l''<sub>x</sub><big>∈</big>''L''<small><sub>x</sub></small>:''l''<sub>x</sub><''y'', <big>∀</big>''r''<sub>y</sub><big>∈</big>''R''<sub>y</sub>:''r''<sub>y</sub>>''x)''
  
Bemerkung: Diese Definition ist zunächst etwas verwirrend, weil für die Definition der <=-Relation die <=-Relation bereits selber verwendet wird. Das ist so zu erklären, dass die Relation rein rekursiv gegeben ist.   
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''Bemerkung: Diese Definition ist zunächst etwas verwirrend, weil für die Definition der <=-Relation die <=-Relation bereits selber verwendet wird. Das ist so zu erklären, dass die Relation rein rekursiv gegeben ist.''  
 
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Eine surreale Zahl x ist somit genau dann wohlgeformt, wenn sie die <=-Bedingung erfüllt, also x<=x gilt.
 
  
 
Aus x<=y und y <=x folgt dabei nicht, dass x=y gilt. Daher führen wir die Relation "==" ein:
 
Aus x<=y und y <=x folgt dabei nicht, dass x=y gilt. Daher führen wir die Relation "==" ein:
  
x==y gilt genau dann, wenn x<=y und y<=x gilt  
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x==y gilt genau dann, wenn x<=y und y<=x gilt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die wir nutzen können, um die entsprechenden Äquivalenzklassen zu definieren. Wir schreiben [x] für die Äquivalenzklasse von x. "x == y" ist dann gleichbedeutend mit "[x] = [y]".
 
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!Tag 0
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!''<nowiki>{|-1} == {|-1,0} == {|-1,1} == {|-1,0,1}</nowiki>''
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<p style="text-align: center">[{|}] := 0</p>
 
<p style="text-align: center">[{|}] := 0</p>
  

Version vom 23. März 2021, 12:07 Uhr

Wird bearbeitet von Leonard, Luna und Thomas:

Erste Konstruktionsschritte

Grundidee: jede surreale Zahl x lässt sich als x = [{L|R}] mit zwei Mengen L (linke Menge von x) und R (rechte Menge von x) schreiben, wobei gelten soll:

  • L und R sind selber Mengen surrealer Zahlen
  • Jedes Element aus L ist kleiner als jedes Element aus R (siehe Ordnungsrelation)
  • Wohlgeformtheit: Es muss x <= x gelten

Die so entstandene Zahl x ist größer als jedes Element aus L und kleiner als jedes Element aus R.

Notation: wir schreiben der Einfachheit halber {a,b|x} statt [{{a,b}|{x}}] und {|y} statt [{|{y}}].

Ordnungsrelation:

Seien x={Lx|Rx}, y={Ly|Ry} surreale Zahlen.

Dann gilt xy genau dann, wenn y kleinergleich keinem Element von Lx und kein Element von Ry kleinergleich x ist. x<y wird als "nicht yx" definiert.

(Quantorenschreibweise: xy : lxLx:lx<y, ryRy:ry>x)

Bemerkung: Diese Definition ist zunächst etwas verwirrend, weil für die Definition der <=-Relation die <=-Relation bereits selber verwendet wird. Das ist so zu erklären, dass die Relation rein rekursiv gegeben ist.

Beispiel:
zeige, dass -1 < 0:

-1 < 0

[|0] < [|]

⇔ ¬([|] <= [|0])

⇔ ¬(lx∈∅:lx<[|0] und ry{0}:ry>[|])

¬(ry{0}:ry>[|])

ry{0}:ry<=[|]

0<=0 (✓)

Aus x<=y und y <=x folgt dabei nicht, dass x=y gilt. Daher führen wir die Relation "==" ein:

x==y gilt genau dann, wenn x<=y und y<=x gilt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die wir nutzen können, um die entsprechenden Äquivalenzklassen zu definieren. Wir schreiben [x] für die Äquivalenzklasse von x. "x == y" ist dann gleichbedeutend mit "[x] = [y]".

Beispiel:
{|-1} == {|-1,0} == {|-1,1} == {|-1,0,1}

[{|}] := 0

[{|0}] := -1 [{0|}] := 1

[{|-1}] := -2 [{-1|0}] := 1/2 [{0|1}] := 1/2 [{1|}] := 2

Tag ω und danach

Konstruktion von reellen Zahlen

Alle Zahlen, die wir durch Induktion über n erhalten haben, besitzen die Form [math]\frac{m}{2^n}, m,n \in \mathbb{Z} [/math]. Alle diese Zahlen haben endliche Dezimaldarstellungen. Den Tag, an welchem alle diese Zahlen bereits existieren (also "ein Tag" nach abzählbar unendlich vielen Tagen) und wir mit diesen neue Zahlen erschaffen, nennen wir Tag ω. Wir werden sehen, dass sich nun auch Zahlen mit nicht endlichen Dezimaldarstellungen konstruieren lassen. Wir betrachten dazu:

Beispiel: Konstruktion von [math]\frac{1}{3}[/math]

Es soll hier zunächst die Konstruktionsidee skizziert werden, welche in ähnlicher Form in weiteren Konstruktionen angewandt werden wird:

Konstruktionsidee

Wir wollen erreichen, dass [math]x=\frac{1}{3} [/math]

Wir wissen, dass [math] X_L \lt x \lt X_R [/math] . Wir füllen nun also [math]X_L [/math] mit Zahlen, die kleiner sind als [math]\frac{1}{3}[/math] und [math]X_R [/math] mit entsprechend größeren. Wir benötigen also also zwei nach 1/3 konvergente Folgen in den bereits existenten Zahlen. Setze also [math]x= \{a_n \in (a)_n | b_n \in (b)_n\}[/math], wobei [math](a)_n[/math]eine monoton steigende und [math](b)_n[/math]eine monoton fallende Folge ist.

Ansatz

Setze

[math]a_n=\frac{(4^n-1)/3}{4^n}[/math]

und

[math]b_n=\frac{(2^{2n+1}+1)/3}{2^{2n+1}}[/math]

Man kann sich leicht überlegen, dass die Folgen die gewünschten Eigenschaften besitzen.

Da sich die reellen Zahlen vollständig durch Cauchyfolgen konstruieren lassen, ist somit ganz [math]\mathbb{R} [/math] an Tag ω erschaffen.

Konstruktion von hyperrellen Zahlen

An Tag ω werden aber nicht nur die Reellen Zahlen erschaffen, sondern ebenfalls infinitesmal benachtbarte und infinite Zahlen. Diese können mit den hyperreellen Zahlen identifiziert werden. In der Tat ist der Konstruktionsmechanismus sogar ausgesprochen ähnlich.

Beispiel: Konstruktion von ε

Setze [math]a_n=\frac{1}{2^n}[/math]. Dann ist [math]\epsilon = \{ 0 | a_n \in (a)_n\}[/math]kleiner als jede positive Zahl, aber größer als Null, also eine infinitismal kleine Zahl. Durch Addition [math]x+\epsilon[/math] (oder subtraktion) lässt sich zu zu jeder Zahl x eine infinitismal benachtbarte Zahl schaffen.

Beachte, dass [math](a)_n[/math]eine beliebige Nulllfolge sein kann.

Beispiel: Konstruktion von ω

Setze [math]a_n=n[/math]. Dann ist [math]\omega = \{ a_n \in (a)_n| \}=\{ 1,2,3,4,...| \}[/math]offenbar größer als jede reelle Zahl.

Es ist desweiteren εω = 1, was hier gezeigt wird.