Surreale Zahlen

Wird bearbeitet von Leonard, Luna und Thomas:

Erste Konstruktionsschritte

Grundidee: jede surreale Zahl x lässt sich als x = [{L|R}] mit zwei Mengen L (linke Menge von x) und R (rechte Menge von x) schreiben, wobei gelten soll:

• L und R sind selber Mengen surrealer Zahlen
• Jedes Element aus L ist kleiner als jedes Element aus R (siehe Ordnungsrelation)
• Wohlgeformtheit: Es muss x <= x gelten

Die so entstandene Zahl x ist größer als jedes Element aus L und kleiner als jedes Element aus R.

Notation: wir schreiben der Einfachheit halber {a,b|x} statt [{{a,b}|{x}}] und {|y} statt [{∅|{y}}].

Ordnungsrelation:

Seien x={L_x|R_x}, y={L_y|R_y} surreale Zahlen.

Dann gilt x≤y genau dann, wenn y kleinergleich keinem Element von L_x und kein Element von R_y kleinergleich x ist. x<y wird als "nicht y≤x" definiert.

(Quantorenschreibweise: x≤y :⇔ ∀l_x∈L_x:l_x<y, ∀r_y∈R_y:r_y>x)

Bemerkung: Diese Definition ist zunächst etwas verwirrend, weil für die Definition der <=-Relation die <=-Relation bereits selber verwendet wird. Das ist so zu erklären, dass die Relation rein rekursiv gegeben ist.

Beispiel:

zeige, dass -1 < 0: -1 < 0 ⇔ [|0] < [|] ⇔ ¬([|] <= [|0]) ⇔ ¬(∀lx∈∅:lx<[|0] und ∀ry∈{0}:ry>[|]) ⇔ ¬(∀ry∈{0}:ry>[|]) ⇔ ∃ry∈{0}:ry<=[|] ⇔ 0<=0 (✓)

Aus x<=y und y <=x folgt dabei nicht, dass x=y gilt. Daher führen wir die Relation "==" ein:

x==y gilt genau dann, wenn x<=y und y<=x gilt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, die wir nutzen können, um die entsprechenden Äquivalenzklassen zu definieren. Wir schreiben [x] für die Äquivalenzklasse von x. "x == y" ist dann gleichbedeutend mit "[x] = [y]".

Bemerkung: Streng genommen bezeichnet <= dann also "x < y oder x == y"

Beispiel:

{|-1} == {|-1,0} == {|-1,1} == {|-1,0,1}

so lassen sich die ersten surrealen Zahlen konstruieren: (Bemerkung: warum die Bezeichnungen genau so gewählt sind, ergibt sich erst, wenn die surrealen Zahlen als Körper betrachtet werden)

Tag 0

Wir beginnen mit nur der leeren Menge als rechte sowie linke Menge. Da die leere Menge keine Elemente enthält, wird keine Regel verletzt und wir erhalten die wohldefinierte surreale Zahl [|], die wir 0 nennen. (hier besitzt die Äquivalenzklasse [|] nur ein Element, und zwar {|})

/

Tag 1

nun können wir aus der leeren Menge und unserer ersten surrealen Zahl 0 die folgenden weiteren surrealen Zahlen konstruieren: [|0]:=-1 und [0|]:=1. Die Zahl [{0|0}] ist dabei nicht wohlgeformt, da alle Elemente der linken Menge strikt kleiner als alle Elemente der rechten Menge sein müssen und 0 <= 0 gilt. Es ergibt sich die Anordnung -1 < 0 < 1.

/

Tag 2

An Tag 2 betrachten wir alle surrealen Zahlen, die wir mit der leeren Menge und unseren surrealen Zahlen -1, 0 und 1 erzeugen können. Dabei ergeben sich neben unzulässigen Zahlen wie [0|-1] auch die wohlgeformten surrealen Zahlen [{ -1}]:=-2 < -1 < [{-1|0}]:=-1/2 < 0 < [{0|1}]:=1/2 < 1 < [{1|}]:=2. Es ergeben sich auch bereits bekannte surreale Zahlen wie [-1|1] = 0. An Tag zwei umfassen die neu erzeugten Äquivalenzklassen erstmals mehrere Elemente, z.B gilt {0,1|}, {-1,1|}, {-1,0,1|} ∈ [{1|}]

Tag ω und danach

Konstruktion von reellen Zahlen

Alle Zahlen, die wir durch Induktion über n erhalten haben, besitzen die Form [math]\frac{m}{2^n}, m,n \in \mathbb{Z} [/math]. Alle diese Zahlen haben endliche Dezimaldarstellungen. Den Tag, an welchem alle diese Zahlen bereits existieren (also "ein Tag" nach abzählbar unendlich vielen Tagen) und wir mit diesen neue Zahlen erschaffen, nennen wir Tag ω. Wir werden sehen, dass sich nun auch Zahlen mit nicht endlichen Dezimaldarstellungen konstruieren lassen. Wir betrachten dazu:

Beispiel: Konstruktion von [math]\frac{1}{3}[/math]

Es soll hier zunächst die Konstruktionsidee skizziert werden, welche in ähnlicher Form in weiteren Konstruktionen angewandt werden wird:

Konstruktionsidee

Wir wollen erreichen, dass [math]x=\frac{1}{3} [/math]

Wir wissen, dass [math] X_L \lt x \lt X_R [/math] . Wir füllen nun also [math]X_L [/math] mit Zahlen, die kleiner sind als [math]\frac{1}{3}[/math] und [math]X_R [/math] mit entsprechend größeren. Wir benötigen also also zwei nach 1/3 konvergente Folgen in den bereits existenten Zahlen. Setze also [math]x= \{a_n \in (a)_n | b_n \in (b)_n\}[/math], wobei [math](a)_n[/math]eine monoton steigende und [math](b)_n[/math]eine monoton fallende Folge ist.

Ansatz

Setze

[math]a_n=\frac{(4^n-1)/3}{4^n}[/math]

und

[math]b_n=\frac{(2^{2n+1}+1)/3}{2^{2n+1}}[/math]

Man kann sich leicht überlegen, dass die Folgen die gewünschten Eigenschaften besitzen.

Da sich die reellen Zahlen vollständig durch Cauchyfolgen konstruieren lassen, ist somit ganz [math]\mathbb{R} [/math] an Tag ω erschaffen.

Konstruktion von hyperrellen Zahlen

An Tag ω werden aber nicht nur die Reellen Zahlen erschaffen, sondern ebenfalls infinitesmal benachtbarte und infinite Zahlen. Diese können mit den hyperreellen Zahlen identifiziert werden. In der Tat ist der Konstruktionsmechanismus sogar ausgesprochen ähnlich.

Beispiel: Konstruktion von ε

Setze [math]a_n=\frac{1}{2^n}[/math]. Dann ist [math]\epsilon = \{ 0 | a_n \in (a)_n\}[/math]kleiner als jede positive Zahl, aber größer als Null, also eine infinitismal kleine Zahl. Durch Addition [math]x+\epsilon[/math] (oder subtraktion) lässt sich zu zu jeder Zahl x eine infinitismal benachtbarte Zahl schaffen.

Beachte, dass [math](a)_n[/math]eine beliebige Nulllfolge sein kann.

Beispiel: Konstruktion von ω

Setze [math]a_n=n[/math]. Dann ist [math]\omega = \{ a_n \in (a)_n| \}=\{ 1,2,3,4,...| \}[/math]offenbar größer als jede reelle Zahl.

Es ist desweiteren εω = 1, was hier gezeigt wird.