Arctic Circle Theorem

In diesem Artikel wollen wir uns mit dem "Arctic Circle"-Theorem beschäftigen. Wir beginnen damit die Überdeckungen von Schachbrettern oder karierten Brettern mit Dominosteinen zu untersuchen. Wir werden das faszinierende Theorem besprechen und schließlich auf mögliche Anwendungen hinweisen.

Schachbretter und Dominosteine

Normales und Brett mit abgeschnittenen Ecken werden mit Dominosteinen belegt

Ein typisches Schachbrett besteht aus einem Brett mit 8 x 8 Feldern. Diese sind abwechselnd Schwarz und Weiß. Bei Schachbrett und Domino geht es darum ein Schachbrett so mit Dominosteinen Auszulegen, dass diesen komplett mit diesen bedeckt ist. Bei einem normalen Brett mit 8 x 8 Feldern, passen auf die 64 Felder genau 32 Dominosteine. Die Frage die man sich jetzt vielleicht stellt ist, ob man, wenn man 2 Felder auf der Diagonale Entfernt, ob man das Brett noch mit den 31 Steinen belegen kann. Aus dem Bauch heraus würde man schnell sagen, dass dies möglich ist. Doch wenn man nun probiert das Feld zu belegen wollen irgendwie immer 2 gleichfarbige Felder, die nicht nebeneinander liegen, übrigbleiben. Der Beweis ist einfach! Denn als Grundüberlegung betrachten wir erst einmal einen Dominostein. Ein Dominostein belegt zwei Felder die nebeneinander liegen. Deshalb überdeckt ein Dominostein genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Wenn wir nun bei einem Schachbrett zwei Felder von der Diagonale entfernen, bleiben insgesamt entweder noch 32 Weiße und 30 schwarze oder andersherum übrig. Da die Anzahl von schwarz != weiß ist folgt daraus, dass das Brett nicht vollständig belegt werden kann. Demnach, wie wir schon wissen, am Ende zwei Felder der gleichen Farbe übrig bleiben.

Abgeschnittene Schachbretter

Aztekenfelder verschiedener Größe

Wir betrachten beim Arctic Circle Theorem oder dem Aztek Diamond nun Schachbretter bei denen nicht nur 2 Felder entfernt wurden, sondern im allgemeinen n((n/2)-1) Felder an allen vier Ecken entfernt wurden, sodass eine Raute entsteht. Somit hat das Feld nur noch n((n/2)+1) Feldern. Die Felder haben dann folgendes Aussehen:

• Feldgröße 2 x 2 besteht aus 2 schwarzen 2 weißen Feldern
• Feldgröße 4 x 4 besteht aus 6 schwarzen 6 weißen Feldern
• Feldgröße 6 x 6 besteht aus 12 schwarzen 12 weißen Feldern
• Feldgröße 8 x 8 besteht aus 20 schwarzen 20 weißen Feldern
• ...
• Feldgröße n x n (n>2) besteht aus n((n/2)+1)/2 schwarzen und n((n/2)+1)/2 weißen Feldern.

Auch hier bestehen die Felder aus jeweils gleichvielen verschiedenfarbigen Feldern, da sonst die Überdeckung mit Dominosteinen nicht möglich ist, wie oben Bewiesen.

Pfade über das Schachbrett

Dominofarben auf Brett

Die Felder des Brettes, dem Aztekenfeld, werden durch das Überlegen des Brettes mit den Dominosteinen eingefärbt. Eingefärbt wird dabei so, dass die Farben festgelegt werden, je nachdem wo das weiße und wo das schwarze Feld ist. Die Frage die sich also jetzt stellt ist, ob es immer ein Weg über das Aztekenfeld gibt bei dem nur auf einer Farbe entlanggegangen wird. (Gif einfügen)

Die Monsterformel

[math]m\times\ n=\ \prod_{j=1}^\frac{m}{2}\prod_{k=1}^\frac{n}{2}\left(4\cos^2{\frac{j\pi}{m+1}}+4\cos^2{\frac{k\pi}{n+1}}\right)[/math]

Aztekendiamant und "Arctic Circle"-Theorem

In der kombinatorischen Mathematik bestehen Aztec-Diamonds der Kardinalität (Ordnung) n aus allen Quadraten, deren Zentrum (x,y), die Gleichung [math]|x|+|y|<=n[math] erfüllen. Die Anzahl wie oft man ein Aztec-Diamond der Ordnung n legen kann ist 2^(n(n+1)/2). Das Theorem sagt nun, dass wenn n größer wird, die Ecken des Diamonds in einer Farbe sind und sich in der Mitte ein perfekter Kreis bildet. Jedes Domino wird genau ein schwarzes und ein weißes Feld treffen. Die Farben werden dann so festgelegt, je nachdem ob rechts, links oder oben, unten weiß oder schwarz ist.

Tanzende Dominosteine

Square Dance

Hier ist erstmal das gif, ich hoffe die geschwindigkeit passt so, wenn nicht kann ich es auch noch einfach ändern.

Anzahl der Überdeckungen

Nachdem wir uns nun den Tanz der Dominosteine verstanden haben wollen wir nun die Anzahl der Überdeckungen für einen beliebigen Aztekendiamant [math] A(n)[/math]berechnen. Wir beginnen mit [math] A(1)[/math]und sehen ein, dass es für diesen genau zwei Überdeckungen gibt. Ausgehend von einer dieser Möglichkeiten schieben wir nun im erweiterten [math] A(2)[/math]die Dominosteine in die durch den Pfeil angezeigte Richtung. Es bleiben nun zwei 4x4 Felder frei, die auf [math] 2^2[/math]Weisen überdeckt werden können. Dies ist das zentrale Argument im rigorosen Beweis der Aussage. Es kann nämlich analog zu unseren Überlegungen gezeigt werden, dass im k-ten Schritt [math] 2^{k}[/math]Möglichkeiten hinzukommen. Insgesamt erhalten wir also für den [math] A(n)[/math] genau [math] 2^{1} \cdot 2^{2} \cdot ... \cdot 2^{n} = 2^{1 + 2 + 3 + ... + n} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}[/math] mögliche Überdeckungen.

Arktischer Kreis und stabile Ränder

[math] [/math]

Quellen

Teil 1:

• Sciencia, Librero, ISBN: 978-90-8998-430-2, Seite 14f.
• Fermats letzter Satz, Simon Singh, dtv, ISBN: 978-3-423-33052-7, Seite 44-50

Weiterführende Literatur:

• https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008605912200
• https://archive.org/details/arxiv-math9801068/mode/2up

unfertig

Es wird untersucht wie man Domino-Fliesen einer Familie von endlichen Regionen namens Aztekendiamanten legen kann. Jedes Domino hat eine Farbe das in eines der fünf Unterregionen liegt; in den vier äußeren Teilregionen wird jede Kachel mit nahegelegenen Kacheln ausgerichtet, während im fünften, zentralen Teilbereich unterschiedlich ausgerichtete Kacheln nebeneinander existieren. Es wird gezeigt dass, wenn n ausreichend groß ist, die Form des zentralen Teilbereichs willkürlich einem perfekten Kreis des Radius n/sqrt(2) für alle außer einem vernachlässigbaren Anteil der Fliesen nahe kommt. (Random Tiligs Beschreibung)

Die Formeln sind (in Abschnitt 1) nicht aus dem Internet sondern selbst hergeleitet... könnten somit falsch sein. Die Formeln scheinen aber im allgemeinen richtig zu sein, da diese auch in den Artikeln in anderer Art aber so vom Ausdruck gleich aussehen.

Die Anzahl der Überdeckungen beträgt Bn=Fn. Wobei Fn die n-te Fibonaccizahl ist (Verweis auf andere Seite). Dabei ist z.B. B0 = 2 x 0 also 1. Durch Induktion lässt sich nun beweisen, dass IA: B1 = 2 x 1 also F1=1 ist. IS: Wegen der Anzahl der Überdeckungen für Bn=Fn, folgern wir daraus Bn+1. Es gibt zwei Arten wie wir mit dem Überdecken beginnen können. Wir können mit einer horizontalen oder einer vertikalen Überdeckung beginnen. Beim horizontalen haben wir Bn, mit Fn verschiedene Überdeckungen, übrig. Beim Vertikalen Bn-1 mit Fn-1 verschiedenen Überdeckungen. Wenn wir diese zwei nun zusammenfügen erhalten wir für die Anzahl der Überdeckungen: B_n+1=Fn+Fn-1=Fn+1

Kommentar: Scheint irgendwie trivial Gemacht zu sein (Wurde von Wikipedia übernommen) (Anmerkung Steven: Das ist glaube ich die Formel für 2xn Bretter und nicht für die Azteken-Diamanten.)