Lemma von Riesz und Folgerungen

Das Lemma von Riesz und Folgerungen

Das Lemma von Riesz ist eine bedeutende Aussage eigentlich der Funktionalanalysis. Jedoch kann man mit ein paar grundliegenden Konzepten relativ starke Aussagen über die Beschaffenheit von Vektorräumen sagen. Eine dieser Aussagen wird das Ziel dieses Artikels sein. Das Lemma von Riesz gibt die Grundlage eines Beweises für ein Kriterium über Endlichdimensionalität eines Vektorraumes. Dieses Kriterium wird dementsprechend auch in der Literatur Kompaktheitssatz von Riesz genannt. Um dieses Resultat zu beweisen ist es jedoch notwendig erstmal das Lemma von Riesz einzuführen und zu beweisen.

Der Kompaktheitssatz von Riesz

Die allgemeine Version des Satzes lässt sich so formulieren:

Ein normierter Vektorrazm [math]\mathbb{X}[/math] ist endlich dimensional, genau dann, wenn die abgeschlossene Einheitskugel [math]\mathbb{D}[/math] ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Wir beschränken uns hier jedoch mehr auf den spezifischeren Fall, dass [math]\mathbb{X}[/math] ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum ist. Dadurch lässt sich obiger Satz zu folgender Aussage umformulieren:

Ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum [math]\mathbb{X}[/math] ist kompakt, genau dann, wenn [math]\mathbb{D}:= \{v \in \mathbb{X} | \Vert v \Vert \leq 1\}[/math] kompakt ist.