Hilberts Hotel

Einführung

Hilberts Hotel ist ein Gedankenexperiment zur Veranschaulichung von Unendlichkeiten. Es wurde vom deutschen Mathematiker David Hilbert entwickelt.

Mathematisches Vorwissen/Hintergrund

Eine Bijektion ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N, die jedem Element m aus M [math]( m \in M )[/math] genau ein Element n aus N [math]( n \in N )[/math] zuordnet.

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

[math] \mid \text{ } M\mid = \mid N\mid \Leftrightarrow \exists \text{ } f: M \to N[/math], so dass f bijektiv

Eine Menge M heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen [math] \mathbb{N}[/math] ist.

[math] M \text{ abzählbar} \Leftrightarrow \mid M\mid = \mid \mathbb{N} \text{ } \mid [/math]

Eine Menge M heißt unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer echten Teilmenge von sich selbst ist.

[math] M \text{ unendlich} \Leftrightarrow \mid M\mid = \mid L\mid, L \subset \neq M [/math]

Hilberts Hotel

Ein Gast kommt

Stell dir vor du hast Ferien und möchtest in den Urlaub Fahren. Die ersten Hotels, bei denen du ankommst sind leider alle schon voll belegt. Nun stehst du vor Hilberts Hotel, dessen Zimmer auch alle voll belegt sind. Du willst gerade weiterfahren, um am nächsten Hotel dein Glück zu versuchen. Da kommt der Portier mit einem Vorschlag auf dich zu: Du hast Glück, denn bei Hilberts Hotel handelt es sich nicht um ein "normales" Hotel. Es gibt zwar auch eine Lobby, und Angestellte und vielleicht sogar einen Pool, aber im Gegensatz zu "normalen" Hotels hat Hilberts Hotel unendlich viele Zimmer, die mit den natürlichen Zahlen [1,2,3,4,...] durchnummeriert sind. Nun weißt du, dass das Hotel unendlich viele Zimmer hat, aber du weißt ja auch dass es bereits voll ist, also unendlich viele Gäste im Hotel untergebracht sind.

Frage: Wie kannst du trotzdem einen Platz in einem Zimmer bekommen?

Antwort

Der Portier schlägt dir vor, dass jeder Gast in das nächste Zimmer zieht, sodass das erste Zimmer für dich frei wird. Da es sich bei Hilberts Hotel um ein unendliches Hotel mit unendlich vielen Zimmern handelt gibt es keinen letzten Gast. Somit findet jeder Gast ein neues Zimmer und das erste Zimmer wird frei. Du kannst also entspannt Urlaub machen und musst dich nicht mehr um deine Unterkunft sorgen. Jeder Gast geht ein Zimmer weiter Diese Bijektion kann auch als Abbildung von den natürlichen Zahlen mit der Null in die natürlichen Zahlen ohne die Null geschrieben werden. Abbildung von N mit Null in N ohne Null Das bedeutet nach der Definition von Gleichmächtigkeit in 2, die natürlichen Zahlen mit 0 sind gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ohne die Null [math] |\mathbb{N}| = |\mathbb{N_0}| [/math] Oder auch [math] \infty+1=\infty [/math]

k Gäste kommen

Dein Urlaub in Hilberts Hotel war so schön, dass du allen deinen Freunden davon erzählt hast. Ihr wollt nun euren nächsten Urlaub gemeinsam im Hotel Hilbert verbringen. Nun bist du aber nicht mehr allein, sondern ihr seid zu "k"t.

Frage: Wie bekommt der Portier k Personen in das bereits volle Hotel?

Antwort

Der Portier lässt jeden Gast k Zimmer weiter gehen. Somit werden wie bei 3.1 die ersten k Zimmer für dich und deine Freunde frei. Verteilung von k Gästen Die hierbei entstandene Bijektion lässt sich als Abbildung von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen ohne {1,2,3,...,k} verstehen, es gilt also [math] |\mathbb{N}| = |\mathbb{N} \text{ \[1,2,3,...,k]}| [/math] Oder auch [math] \infty+k=\infty [/math]

Ein Bus mit ∞ Gästen kommt

Die Beliebtheit von Hilberts Hotel spricht sich schnell herum und in den nächsten Ferien kommt ein ganzer Bus mit unendlich vielen Plätzen zum Hotel.

Frage: Wie kann der Portier unendlich viele neue Gäste im bereits vollen Hotel unterbringen?

Antwort

Da er jetzt zwei mal unendlich viele Gäste unterbringen muss, lässt der Portier jeden Gast aus dem Hotel in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer ziehen. Die Hotelgäste ziehen also in die Zimmer mit den geraden Zimmernummern, während die Zimmer mit den ungeraden Nummern frei werden. Da es aber unendlich ungerade natürliche Zahlen gibt, können nun alle Gäste aus dem Bus im Hotel untergebracht werden. Verteilung unendlich vieler Gäste Diese Bijektion kann auch als Abbildung von den ganzen Zahlen in die natürlichen Zahlen verstanden werden: Bijekton von den ganzen Zahlen in die natürlichen Zahlen Es gilt also [math] |\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| [/math] Oder auch [math] \infty+\infty=2*\infty=\infty [/math]

k Busse mit ∞ Gästen kommen

Nun kommen statt einem Bus mit unendlich vielen Gästen k Busse mit unendlich vielen Gästen.

Frage: Wie kann der Portier k mal unendlich viele Gäste im vollen Hotel unterbringen?

Antwort

Damit alle Personen aus den k Bussen ein Zimmer im Hotel bekommen, schickt der Portier jeden Gast auf das k+1-fache seiner Zimmernummer. Somit sind die ersten k Zimmer frei und der erste Gast aus Bus 1 geht in Zimmer 1, der erste Gast aus Bus 2 in Zimmer 2 usw., bis der erste Gast aus Bus k im Zimmer Nummer k untergebracht ist. Nun geht der zweite Gast aus Bus 1 in das Zimmer mit der Nummer k+2 und so weiter [math] (m \to m(k+1)+t \text{ für t-ten Bus})[/math]. Am Ende bekommen alle Gäste ein Zimmer. Verteilung von k Bussen mit unendlich vielen Gästen Es gilt also [math] |\mathbb{N}| = |k*\mathbb{N}| [/math] Oder auch [math] k*\infty=\infty [/math]

∞ Busse mit ∞ Gästen kommen

Nun kommen statt k Bussen mit unendlich vielen Gästen unendliche viele Busse mit unendlich vielen Gästen.

Frage: Wie kann der Portier unendlich mal unendlich viele Gäste im vollen Hotel unterbringen?

Antwort

Der Portier kennt zum Glück das 1. Cantor'sche Diagonalverfahren und schafft es so, alle Gäste auf das Hotel zu verteilen. Er geht dabei nach folgendem Schema vor: Er beginnt mit Gast 1 und 2 aus dem Hotel, geht dann zu Gast 1 aus Bus 1, anschließend zu Gast 1 aus Bus 2. Jetzt geht er diagonal wieder zurück, also zu Gast 2 aus Bus 1 und zu Gast 3 aus dem Hotel. Als nächstes geht der Portier zu Gast 4 aus dem Hotel und dann wieder diagonal zu den Gästen aus den Bussen, also Gast 3 aus Bus 1 , Gast 2 aus Bus 2 und Gast 1 aus Bus 3. Dann geht er zu Gast 1 aus Bus 4 und wieder diagonal nach oben. Die ganze Zeit über verteilt er die Schlüssel zu den Zimmern der Reihe nach an die Gäste, zu denen er geht. Verteilung unendlich vieler Gäste aus unendlich vielen Bussen Diese Zuordnung kann man auch als Abbildung von den rationalen in die natürlichen Zahlen verstehen. Hierzu schreiben wir alle rationalen Zahlen in eine Ebene, indem wir auf der horizontalen Achse den Zähler und auf der vertikalen Achse den Nenner variieren. Außerdem schreiben wir jeweils das Negative zu der Zahl selbst dazu. Um keine Zahl doppelt zu erhalten, kürzen wir die Brüche. Nun gehen wir wie beim Hotel diagonal durch die Ebene und erreichen so jede rationale Zahl. Wir können also wieder eine Bijektion zwischen den rationalen und natürlichen Zahlen finden. An dieser Stelle soll uns aber statt einer expliziten Abbildung eine Skizze zur Veranschaulichung genügen: Bijektion von den rationalen Zahlen in die natürlichen Zahlen Daraus schließen wir, dass [math] |\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}| [/math] oder auch [math] \infty * \infty=\infty [/math].

Abschließende Anmerkungen

Die reellen Zahlen sind überabzählbar, man kann also keine Bijektion zwischen den reellen und den natürlichen Zahlen finden. In anderen Worten: Die reellen Zahlen sind mächtiger als die natürlichen Zahlen.

Für den Fall, dass endlich viele Gäste ihr Zimmer behalten wollen, so kann der Portier dennoch sein Verfahren zur Unterbringung der Gäste wie gewohnt durchführen, er muss nur nach dem letzten Gast anfangen, der sein Zimmer behalten will.