Benutzer:Kasparw

Riemannsche Umordungssatz

Motivation zum Satz (Kaspar):

Unendliche Reihen sind nicht kommutativ

Für endlichen Reihen ist klar das die umordnung der Summe nicht den Wert der Summe ändert: [math]a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_2 + a_1[/math].

Für Unendlichen Reihen gilt dies nicht. Umordung von Therme können den Wert den Summe ändern:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= X [/math]

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n} = a_2 + a_4 + a_6 + ...+ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n -1} = a_1 + a_3 + a_5 + ... \stackrel{\mathrm{def}}= Y [/math]

Kein axiom sagt das X und Y gleich sind.

Der Beweis diese Aussage und die mathematische Idee werden auf diese Seite behandelt.

Riemannsche Umordnungssatzt:

Teil 1: Kommutative Unendliche Reihen:

Sei [math]S \in \mathbb{R} [/math] und [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine absolut konvergente Reihe.

Angenommen ist [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = S[/math]

Dann gilt: [math]\forall \mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion)

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Teil 2: Nicht Kommutative Unendliche Reihen:

Sei [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine bedingt konvergente Reihe.

Dann: [math]\forall S\in\mathbb{R}, \exists\mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion) so das:

[math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Beweis:

Teil 1:

Sei [math]S \in \mathbb{R} [/math].

Sei [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n[/math] eine absolut konvergente Reihe so das [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = S[/math].

Behauptung zu beweisen: [math]\forall \mathrm{\alpha} :\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}[/math] ([math]\mathrm{\alpha}[/math] eine bijektion) [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\mathrm{\alpha}(n)} = S[/math]

Sei [math]\mathbf{\varepsilon}\gt 0 [/math]. Weil [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n [/math] konvergent ist gilt nach der Unendlichen Reihen Konvergenzkriterium das [math]\lim_{n \to \infty}a_n = 0 [/math]. Mathematisch ausgedruckt ergibt sich:

Hilfsmittel zum verstehen

[math]\forall\mathbf{\varepsilon}\gt 0, \exists n_0 \in\mathbb{N}, \forall n \in\mathbb{N}, n\gt n_0 \Rightarrow |a_n| \lt \mathbf{\varepsilon}[/math].

Dementsprechend: [math]\exists R \in\mathbb{N} [/math] so das: [math]\sum\limits_{n=R+1}^{\infty} |a_n| \lt \tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2} [/math] (siehe Bild)

Zunächst nehmen wir [math]P \ge R[/math] so das die Werte: [math]a_1, a_2,...a_r[/math] in [math]a_{\mathrm{\alpha}(1)},a_{\mathrm{\alpha}(2)},...a_{\mathrm{\alpha}(P)}[/math] Auftreten. Dies ist möglich da [math]\mathrm{\alpha}[/math] bijektiv ist.

Sei [math]p\ge P[/math]. Die Dreiecksungleichung liefert:

[math]|\sum\limits_{n=1}^{p} a_n-S|\le |\sum\limits_{n=1}^{p} a_n -\sum\limits_{n=1}^{R} a_n|+|\sum\limits_{n=1} ^{R} a_n -S|[/math]

[math]\Rightarrow |\sum\limits_{n=1}^{p} a_n-S|\le |\sum\limits_{n=R+1}^{p}a_n|+|\sum\limits_{n=R+1}^{p} a_n| [/math] (hier kürzt man die [math]R[/math] ersten Faktoren aus [math](a_n)_{n\in\mathbb{N}} [/math] weil sie nach definition von [math]p[/math] in [math]\sum\limits_{n=1}^{p} a_n[/math] Auftreten)

[math]\Rightarrow |\sum\limits_{n=1}^{p} a_n-S|\le |\sum\limits_{n=R+1}^{\infty}a_n|+|\sum\limits_{n=R+1}^{\infty} a_n|\lt \tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2}+\tfrac{\mathbf{\varepsilon}}{2} =\mathbf{\varepsilon} [/math]

[math]\Rightarrow S-\mathbf{\varepsilon}\le\sum\limits_{n=1}^{p} a_n\le S+\mathbf{\varepsilon}[/math]

[math]\Rightarrow S-\mathbf{\varepsilon}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\le S+\mathbf{\varepsilon}[/math]

[math]\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = S[/math]