Cantor-Menge

Georg Cantor

Der 1845 in Sankt Petersburg geborene Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Geometrische Darstellung

Man konstruiert die Cantor-Menge rekursiv, indem man vom abgeschlossenen Intervall [0, 1] das mittlere offene Drittel [math]\displaystyle ( \frac{1}{3} ,\frac{2}{3} )[/math] entfernt und aus den beiden verbleibenden Intervallen [0, 1/3] und [2/3, 1] erneut jeweils deren mittleres offenes Drittel entfernt. Dieser Prozess des Entfernen des mittleren offenen Drittels wird unendlich oft fortgesetzt.

Folgendes Bild veranschaulicht den Prozess.

Tenär-Dartstellung

Der internationale Standard sieht das Dezimalsystem als Zahlensystem vor. Dabei wird ein Zahlenwert dargestellt durch Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mit dem Stellenwert als Zehnerpotenz insgesamt addiert wird. Da bei der Cantor-Menge Intervalle iterativ gedrittelt werden, ist es zielführend sich für die nähere Betrachtung der Menge mit dem Stellenwertsystem zur Basis 3 vertraut zu machen, dem Tenär-System. Dieses sieht die Ziffern 0,1,2 und den Stellenwert als Dreierpotenz vor. Zahlenwerte in Tenär-Darstellung werden mit einem Index 3 gekennzeichnet. Das heißt für x ∈ [0, 1], dem Intervall in dem sich die Cantor-Menge befindet, im:

• Dezimalsystem:
  

[math]\displaystyle x = 0,x_1 x_2 x_3 ... = \sum_{i=1}^\infty x_i \frac{1}{10^i} ; x_i ∈ [/math] {0,1,...,9} ,wobei i ∈ [math]\mathbb N[/math]

• Tenärsystem:
  

[math]\displaystyle x = 0,x_1 x_2 x_3 ...= \sum_{i=1}^\infty x_i \frac{1}{3^i} ; x_i ∈ [/math] {0,1,2} ,wobei i ∈ [math]\mathbb N[/math]

Beispiele dazu:

[math]\displaystyle \frac{1}{3} = (0,1)_3 [/math]

[math]\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = (0,2)_3 [/math]

[math]\displaystyle \frac{13}{27} = \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3} = (0,111)_3 [/math]

So wie im Dezimalsystem die Konvention besteht [math]\displaystyle 0{,}\overline{9}[/math] mit 1 gleichzusetzten, gilt dies analog für [math]\displaystyle 0{,}\overline{2}[/math] im Tenärsystem. Daraus folgt:

[math]\displaystyle (0{,}\overline{2})_3 = 1[/math]

[math]\displaystyle(0{,}0\overline{2})_3 =(0,1)_3[/math]

[math]\displaystyle(0{,}11\overline{2})_3 =(0,12)_3[/math]

Angewandt auf die Cantor-Menge bedeutet das, da das mittlere Intervall mit einer 1 als Stellenwert herausgenommen wird, dass die Menge C_n aus Elementen besteht, die innerhalb denr ersten n-Nachkommstellen nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehen. Das erleichtert die Zuordnug. => NEUEs BILD mit Brüchen?

Cantorfunktion

Mit Hilfe der Cantormenge lässt sich rekursiv die sogenannte Cantorfunktion (auch “Teufelstreppe”) definieren. Sei f: [0,1] -> [0,1] mit f(0) = 0 und f(1) = 1. Sei x in [0,1], dann erhalten wir die Cantorfunktion f(x) durch die folgenden Schritte:

• Drücke x in Basis 3 aus. ((Tenärsdarstellung?? Vielleicht sollten wir dann hier die Reihenfolge ändern?))
• Wenn x eine 1 enthält, ersetze jede Ziffer streng nach der ersten 1 durch 0.
• Ersetze alle verbleibenden 2en durch 1en.
• Interpretiere das Ergebnis als Binärzahl.

((-> Erschließt sich dadurch nicht auch die Gleichmächtigkeit zum Intervall [0, 1] ?? Dann könnte man hier den Beweis dazu noch einfügen ))

Der Graph der Funktion ist durch folgendes Bild veranschaulicht.

Die Teufelstreppe f ist monoton steigend und in allen Punkten x  ∈  [0, 1] \ C differenzierbar mit der Ableitung 0, da sie dort konstant ist. In den Elementen der Cantormenge wie zum Beispiel 0 und 1 und den Randpunkten der entfernten Drittelintervalle ist f nicht differenzierbar. ((Beweis?? Bildnachweis?? Sollten wir hier nicht eine Achsenbeschriftung in Tenärdarstellung wählen oder zusätzlich angeben?))

Sie steht in Bezug mit einer besonderen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften

1884 veröffentlicht Cantor sein Werk Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten (VI). Im Paragraph § 19 beschäftigt er sich mit perfekten Teilmengen von ℝ. Hierzu verwendet er die Cantormenge und zeigt, dass jede beschränkte nichtleere perfekte Teilmenge von ℝ, die keine nichttrivialen Intervalle enthält, ähnlich ist zur Cantormenge C.

In der Tat hat die Cantormenge besondere Eigenschaften:

Cantor und Ligeti (musikalische Interpretation?)

Der rumänische Komponist György Ligeti macht in seiner Komposition "L'escalier du diable" (“Die Teufelstreppe”) innerhalb seiner 13. Etüde die Cantor-Funktion musikalisch fühlbar.

Der endliche Aufstieg des Intervalls [0, 1] in überabzählbar unendlich vielen Schritten ist durch sich selbstähnlich Harmonien illustriert. Während meistens konstant, aufgrund der herausgenommen Intervall ist die Cantorfunktion, wie schon erwähnt, eigentlich monoton steigend. Deswegen beschleunigt das Tempo der Komposition.

Ihre Struktur ist dreiteilig. Nach dem ersten musikalischen Intervall wird das mittlere Teil des nächsten Intervall verändert und dann nochmals mit einem veränderten Mittlere geteilt.

Also versucht die Komposition eine Darstellung der Unendlichkeit zu geben, was in der Mathematik formal möglich ist.