Gegenbeispiele der Funktionentheorie und Analysis

Diese Seite untersucht Gegenbeispiele in den mathematischen Teilgebieten "Funktionentheorie" und "Analysis".

Wir untersuchen die Unterschiede zwischen komplexer Differenzierbarkeit und total reeller Differenzierbarkeit. Hierfür formulieren wir einige besondere Eigenschaften komplex Differenzierbarer (holomorpher) Funktionen, und finden reelle Gegenbeispiele, für welche diese Aussagen nicht gelten. Dem gegenüber stellen wir harmonische Funktionen, eine Klasse reellwertiger [math]C^2[/math]-Funktionen, welche holomorphen Funktionen in gewisser Weise ähnlich sind.

Holomorphe Funktionen

Motivation

In der eindimensionalen reellen Analysis definieren wir die Differenzierbarkeit einer Funktion [math]f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math] im Punkt [math]x_0[/math] über ihren Differenzenquotienten [math]\frac {f(x) - f(x_0)} {x-x_0}[/math].

Für mehrdimensionale Funktionen [math]f\colon\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}[/math] ist dieser Ausdruck aber nicht mehr sinnvoll, da man hier durch einen Vektor [math]x-x_0 \in \mathbb{R^n}[/math] teilen würde. Daher benötigt man dort die Definition über das totale Differential.

Für den Spezialfall [math]f\colon\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/math] können wir jedoch auch [math]\mathbb{R}^2[/math] mit [math]\mathbb{C}[/math] identifizieren und die Körperstruktur von [math]\mathbb{C}[/math] nutzen. Dort ist also die Division durch [math]x-x_0 \in \mathbb{C}[/math] möglich, und wir erhalten mit dem klassischen Differenzenquotienten eine stärkere Art der Differenzierbarkeit, welche die Existenz eines totalen Differentials impliziert und darüber hinaus geht.

Definition

Sei [math]U\subseteq \mathbb{C}[/math] eine offene Teilmenge der komplexen Ebene. Eine Funktion [math]f\colon U \to \mathbb{C}[/math] heißt komplex differenzierbar im Punkt [math]z_0 \in U[/math], falls der Grenzwert [math]\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}[/math] existiert. Den Grenzwert bezeichnet man als [math]f'(z_0)[/math].

Ist [math]f[/math] in jedem Punkt [math]z \in U[/math] komplex differenzierbar, so heißt [math]f[/math] holomorph in [math]U[/math].

Ist [math]f[/math] auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] komplex differenzierbar, so heißt [math]f[/math] ganze Funktion.

Beispiele

• [math]f\colon\mathbb{C} \to \mathbb{C}[/math], [math]z \rightarrow z^2+1[/math] ist holomorph mit Ableitung [math]f'(z)=2z[/math]

Hierzu betrachte man den Differenzenquotienten:

[math]f'(z)=\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{(z+h)^2+1-(z^2+1)}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{z^2+2zh+h^2+1-z^2-1}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{2zh+h^2}{h}=\lim \limits_{h \to 0}2z+h=2z[/math]

• Alle komplexen Polynome sind ganze Funktionen und es gelten dieselben Ableitungsregeln wie in [math]\mathbb{R}[/math].

• Die reelle Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen [math]sin[/math] und [math]cos[/math] lassen sich auf eindeutige Weise zu ganzen Funktionen auf [math]\mathbb{C}[/math] fortsetzen.

Die Exponentialfunktion ist dabei definiert als [math]exp(z):=e^{Re(z)}(cos(Im(z))+isin(Im(z)))[/math]. Es gelten dann die aus dem Reellen bekannten Eigenschaften, z.B [math]exp(x+y)=exp(x)exp(y)[/math] und [math]exp'(z)=exp(z)[/math].

Man sieht hier auch, dass die komplexe Exponentialfunktion eingeschränkt auf [math]\mathbb{R}[/math], genau die Reelle Exponentialfunktion ist, da [math]cos(0)+isin(0)=1[/math]

Komplexer Sinus und Cosinus sind dann wiederrum durch die Exponentialfunktion definiert.

• Der reelle natürliche Logarithmus lässt sich eindeutig zu einer holomorphen Funktion auf dem Gebiet [math]\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0[/math] fortsetzen.

• [math]z \rightarrow Re(z)[/math] und [math]z \rightarrow Im(z)[/math] sind in keinem Punkt [math]z \in \mathbb{C}[/math] komplex differenzierbar.

Differenzenquotient im Punkt [math]z[/math]:

[math]\lim \limits_{h \to 0}\frac{Re(z+h)-Re(z)}{h}=\lim \limits_{h \to 0}\frac{Re(h)}{h}[/math] existiert nicht, wähle für [math]h[/math] z.B die Folgen [math]a_n:=\frac{i}{n}[/math] und [math]b_n:=\frac{1}{n}[/math]. Es gilt [math]Re(a_n)=0[/math] und [math]Re(b_n)=b_n[/math], und daher

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{Re(a_n)}{a_n}=0[/math] und [math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{Re(b_n)}{b_n}=1[/math]

Dass die Projektionen auf Real- und Imaginärteil nicht holomorph sind, hat zur Folge, dass beliebige Verkettungen dieser im Allgemeinen auch nicht holomorph sind. Zum Beispiel der komplexe Betrag

[math]z\rightarrow |z|:=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}[/math] oder

[math]k(z):=cos(Re(z))+icos(Im(z))[/math]

Totale Differenzierbarkeit

Definition

Sei [math]U\subseteq \mathbb{R}^2[/math] eine offene Teilmenge der reellen Ebene. Eine Funktion [math]f\colon U \to \mathbb{R}^2[/math] heißt (total) differenzierbar im Punkt [math]x_0[/math], falls eine lineare Abbildung [math]L\colon\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/math] existiert, so dass [math]\lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)}{||h||}=0[/math].

Die Abbildung [math]L[/math] wird als (totales) Differential von [math]f[/math] im Punkt [math]x_0[/math] bezeichnet.

Jacobi-Matrix

Wir schreiben eine Funktion [math]f\colon U \to \mathbb{R}^2[/math] mithilfe ihrer reellwertigen Komponenten [math]f_1, f_2\colon U \to \mathbb{R}[/math]

[math]f(x_1,x_2):= \left(\begin{array}{c} f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2) \end{array}\right)[/math]

Die lineare Abbilidung [math]L[/math] ist durch die Jacobi-Matrix [math]J_f(x_0) := \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_0) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_0) \\ \end{array}\right)[/math] gegeben, wobei [math]\frac{\partial f_i}{\partial x_j}[/math] die partiellen Ableitungen bezeichnen, also die Ableitung der reellwertigen Funktion [math]f_i[/math] nach der Variablen [math]x_j[/math].

Es gelten die folgenden Zusammenhänge:

[math]f[/math] ist total differenzierbar auf [math]U \Rightarrow[/math] Alle partiellen Ableitungen existieren und [math]L[/math] ist eindeutig durch die Jacobi-Matrix gegeben.

Alle partiellen Ableitungen von [math]f[/math] existieren und sind stetig auf [math]U \Rightarrow f[/math] ist total differenzierbar auf [math]U[/math]

Identifikation mit komplexwertigen Funktionen

Man kann nun die Komponenten [math]f_1[/math] und [math]f_2[/math] als Real- bzw. Imaginärteil einer komplexwertigen Funktion auffassen.

Sei [math]z:=z_1+iz_2 \in \mathbb{C}[/math].

[math]f(z):=f_1(z_1,z_2)+if_2(z_1,z_2)[/math] ist nun die entsprechende Funktion von [math]\mathbb{C}[/math] nach [math]\mathbb{C}[/math]. Diese kann man also auf Holomorphie untersuchen, und es stellt sich die Frage, wie die beiden Differenzierbarkeitsbegriffe zusammenhängen.

Direkter Vergleich

Beispiele

Wir fassen nun die im Abschnitt über Holomorphie diskutierten Beispiele [math]\quad f(z):=z^2+1,\quad exp(z), \quad g(z):=Re(z), \quad h(z):=|z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}, \quad k(z):=cos(Re(z))+icos(Im(z)), \quad[/math]als Funktionen von [math]\mathbb{R}^2[/math] nach [math]\mathbb{R}^2[/math] auf, und untersuchen sie auf totale Differenzierbarkeit.

Dazu schreiben wir [math]z=z_1+iz_2[/math] und berechnen die jeweiligen Real- und Imaginärteile:

• [math]\: f(z)=f(z_1+iz_2)=z_1^2+i^2z_2^2+2iz_1z_2+1=z_1^2-z_2^2+2iz_1z_2+1\\ \Rightarrow Re(f)=z_1^2-z_2^2+1,\quad Im(f)=2z_1z_2[/math]

• [math]Re(exp)=e^{z_1}cos(z_2), \quad Im(exp)=e^{z_1}sin(z_2)[/math]

• [math]Re(g)=z_1, \quad Im(g)=0[/math]

• [math]Re(h)=\sqrt{z_1^2+z_2^2}, \quad Im(h)=0[/math]

• [math]Re(k)=cos(z_1), \quad Im(k)=cos(z_2)[/math]

Die entsprechenden Funktionen sind also:

• [math]f(x)=\left(\begin{array}{c} x_1^2-x_2^2+1 \\ 2x_1x_2 \end{array}\right)[/math]

• [math]exp(x)=\left(\begin{array}{c} e^{x_1}cos(x_2) \\ e^{x_1}sin(x_2) \end{array}\right)[/math]

• [math]g(x)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ 0 \end{array}\right)[/math]

• [math]h(x)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{x_1^2+x_2^2} \\ 0 \end{array}\right)[/math]

• [math]k(x)=\left(\begin{array}{c} \cos(x_1) \\ cos(x_2) \end{array}\right)[/math]

Berechnen der partiellen Ableitungen liefert:

• [math]J_{exp}(x) = \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial}{\partial x_1}(e^{x_1}cos(x_2)) & \frac{\partial}{\partial x_2}(e^{x_1}cos(x_2)) \\ \frac{\partial}{\partial x_1}(e^{x_1}sin(x_2)) & \frac{\partial}{\partial x_2}(e^{x_1}sin(x_2)) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} e^{x_1}cos(x_2) & -e^{x_1}sin(x_2) \\ e^{x_1}sin(x_2) & e^{x_1}cos(x_2) \\ \end{array}\right)\\[/math]

Alle partiellen Ableitungen existieren und diese sind stetig auf ganz [math]\mathbb{R^2}[/math], [math]exp[/math] ist dort also auch total differenzierbar. [math]exp[/math] ist auch holomorph.

• [math]J_f(x) := \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} 2x_1 & -2x_2 \\ 2x_2 & 2x_1 \\ \end{array}\right)\\[/math]

Alle partiellen Ableitungen existieren und diese sind stetig auf ganz [math]\mathbb{R^2}[/math], [math]f[/math] ist dort also auch total differenzierbar. [math]f[/math] ist auch holomorph.

• [math]J_g(x) := \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial g_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2}(x) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right)\\[/math]

Alle partiellen Ableitungen existieren und diese sind stetig auf ganz [math]\mathbb{R^2}[/math], [math]g[/math] ist dort also auch total differenzierbar. [math]g[/math] ist in keinem Punkt komplex differenzierbar.

• [math]J_h(x) := \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial h_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial h_1}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial h_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial h_2}{\partial x_2}(x) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} & \frac{x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right)\\[/math]

Alle partiellen Ableitungen existieren auf [math]\mathbb{R^2}\setminus\lbrace 0\rbrace[/math] und sind dort stetig. [math]h[/math] ist also total differenzierbar auf [math]\mathbb{R^2}\setminus\lbrace 0\rbrace[/math], aber nicht holomorph. [math]h[/math] ist weder differenzierbar noch komplex differenzierbar in [math](0,0)[/math], da dort die partiellen Ableitungen nicht existieren.

• [math]J_k(x) := \left( \begin{array}{rr} \frac{\partial k_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial k_1}{\partial x_2}(x) \\ \frac{\partial k_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial k_2}{\partial x_2}(x) \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} -sin(x_1) & 0 \\ 0 & -sin(x_2) \\ \end{array}\right)[/math]

[math]k[/math] ist total differenzierbar auf [math]\mathbb{R^2}[/math], aber in keinem Gebiet holomorph.

Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen

Die betrachteten Beispiele zeigen, dass aus totaler Differenzierbarkeit nicht unbedingt Holomorphie folgt. Sie lassen aber vermuten, dass holomorphe Funktionen auch total differenzierbar sind, und dass die Jacobimatrizen holomorpher Funktionen die spezielle Form [math]J = \left( \begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right)[/math] haben.

In der Tat kann man anhand der Definitionen mit einer elementaren Rechnung herleiten, dass die zu einer holomorphen Funktion gehörige reelle Auffassung total differenzierbar ist, und gleichzeitig die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt:

[math]\begin{align} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) &= \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) & \qquad \\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) &= -\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \qquad \end{align}[/math]

Dies entspricht der oben genannten Form für die Jacobimatrix.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch, und somit:

[math]f\colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}[/math] ist holomorph auf dem Gebiet [math]U[/math] [math]\Longleftrightarrow f\colon \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}[/math] ist total differenzierbar auf [math]U[/math] und erfüllt dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Die Erfüllung der CR-DGL ist eine sehr starke Eigenschaft und führt zu einigen interessanten Implikationen, die im reellen kein Gegenstück besitzen. Die Menge der holomorphen Funktionen ist sehr "klein", in dem Sinne, dass sie sich bereits durch sehr wenige Informationen eindeutig identifizieren lassen.

Analytizität

Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist wieder holomorph. Das bedeutet, dass jede holomorphe Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist.

Außerdem sind holomorphe Funktionen analytisch, das heißt sie lassen sich lokal durch eine konvergente Potenzreihe beschreiben.

Beide Aussagen sind im reellen falsch. Selbst im Falle einer unendlich oft differenzierbaren reellen Funktion, muss ihre Taylorreihe nicht unbedingt konvergieren.

Satz von Liouville

Der Satz von Liouville besagt, dass eine ganze Funktion (auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] holomorphe Funktion), die auch beschränkt ist, bereits konstant sein muss.

Es gibt also keine beschränkten, ganzen Funktionen, die nicht konstant sind. Die beiden besprochenen Beispiele für ganze Funktionen, [math]f(z)=z^2+1[/math] und [math]exp(z)[/math], sind beide unbeschränkt auf [math]\mathbb{C}[/math], da diese bereits auf den reellen Zahlen unbeschränkt sind.

Hierbei ist die Bedingung auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] holomorph zu sein wichtig, der Satz gilt nicht für beliebige Gebiete [math]U\subseteq \mathbb{C}[/math], weder für beschränkte noch für unbeschränkte Gebiete.

Beispiel

Wir betrachten ein unbeschränktes Gebiet [math]U \subset \mathbb{C}[/math] und die Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion ist [math]2\pi i[/math] -periodisch. Das ergibt sich aus ihrer Definition:

[math]exp(z+2\pi i)=e^{Re(z+2\pi i)}(cos(Im(z+2\pi i))+isin(Im(z+2\pi i)))=e^{z_1}(cos(z_2+2\pi)+isin(z_2+2\pi))=e^{z_1}(cos(z_2)+isin(z_2))=exp(z)[/math]

Die Exponentialfunktion ist stetig und daher auf Kompakta beschränkt, somit ist sie auf dem Rechteck [math][0,1] \times [0,2\pi][/math] beschränkt. Wegen der Periodizität ist sie also auch auf dem unbeschränkten Gebiet [math]U=(0,1) \times (-\infty,\infty)[/math] beschränkt. Sie ist dort auch holomorph, aber kann dort nicht konstant sein, da sie bereits auf dem reellen Intervall [math](0,1)[/math] nicht konstant ist.

Beispiel

Um zu sehen, dass der Satz von Liouville im Reellen falsch ist, betrachten wir unser Beispiel [math]k(x):=\left(\begin{array}{c} \cos(x_1) \\ cos(x_2) \end{array}\right)[/math]

Diese Funktion ist auf ganz [math]\mathbb{R^2}[/math] differenzierbar und außerdem beschränkt, da [math]cos(x) \le 1[/math]. Sie ist aber nicht konstant.