Fibonacci Folge: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | ==Kontinuierliche Fibonacci-Funktion== | ||
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| + | Die Formel von Moivre und Binet ist eine Formel zur expliziten Berechung der n-ten Fibonacci-Zahl: | ||
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| + | <math> f_n=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}</math> | ||
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| + | <math>\Phi</math> ist dabei die [[goldene Zahl]] <math>\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Diese Formel liefert für ganzzahlige Werte für n auch exakte, ganzzahlige Ergebnisse. | ||
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| + | Um zu zeigen, dass diese Formel die Fibonacci-Zahlen ergibt, überprüfen wir die Bildungsvorschrift: | ||
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| + | '''IA''': Die Formel gilt für <math>n=0\ \left(\frac{\Phi^0-(1-\Phi)^0}{\sqrt{5}}=\frac{1-1}{sqrt{5}}=0=f_0\right)</math> und für <math> n=1\ \left( f_1= \frac{\Phi^1-(1-\Phi)^1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{sqrt{5}}=1=f_1\right)</math>. | ||
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| + | '''IV''': Nun gelte sie für ein <math> n,\ n-1\in\mathbb{N}</math>. | ||
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| + | f_{n+1}=f_{n}+f_{n+1}&=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n+\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}}\\ | ||
| + | &=\frac{\Phi^{n-1}(1+\Phi)-(1-\Phi)^{n-1}\left(1+(1-\Phi)\right)}{\sqrt{5}}\\ | ||
| + | &=\frac{\Phi^{n-1}(\Phi^2)-(1-\Phi)^{n-1}(1-\Phi)^2}{\sqrt{5}}\\ | ||
| + | &=\frac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}} | ||
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| + | ===Erweiterung auf eine kontinuierliche Funktion=== | ||
| + | Nun ist es auch möglich, in diese Formel nicht ganzzahlige Werte einzusetzen. In diesem Fall ist das Ergebnis jedoch nicht mehr reell, sondern komplex und man erhält (im Folgenden zeigt die y-Achse dem Imaginär- und die x-Achse den Realteil an): | ||
Version vom 9. März 2021, 16:45 Uhr
Die Fibonacci-Folge ist eine Folge reeller Zahlen.
Erweiterung auf ganze Zahlen
Die Bildungsvorschrift lässt sich einfach umstellen:
[math] f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1} [/math]
Damit erhält man eine erweiterte Fibonacci-Folge:
[math] \cdots\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} f_{-7} & f_{-6} & f_{-5} & f_{-4} & f_{-3} & f_{-2} & f_{-1} & f_0 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 & f_7\\\hline 13 & -8 & 5 & -3 & 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 \end{array} \cdots [/math]
Kontinuierliche Fibonacci-Funktion
Formel von Moivre-Binet
Die Formel von Moivre und Binet ist eine Formel zur expliziten Berechung der n-ten Fibonacci-Zahl:
[math] f_n=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n}{\sqrt{5}}[/math]
[math]\Phi[/math] ist dabei die goldene Zahl [math]\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math]. Diese Formel liefert für ganzzahlige Werte für n auch exakte, ganzzahlige Ergebnisse.
| Beweis durch vollständige Induktion |
| .
Um zu zeigen, dass diese Formel die Fibonacci-Zahlen ergibt, überprüfen wir die Bildungsvorschrift: IA: Die Formel gilt für [math]n=0\ \left(\frac{\Phi^0-(1-\Phi)^0}{\sqrt{5}}=\frac{1-1}{sqrt{5}}=0=f_0\right)[/math] und für [math] n=1\ \left( f_1= \frac{\Phi^1-(1-\Phi)^1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{sqrt{5}}=1=f_1\right)[/math]. IV: Nun gelte sie für ein [math] n,\ n-1\in\mathbb{N}[/math]. IS: Dann gilt: [math] \begin{array}{rl} f_{n+1}=f_{n}+f_{n+1}&=\frac{\Phi^n-(1-\Phi)^n+\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}(1+\Phi)-(1-\Phi)^{n-1}\left(1+(1-\Phi)\right)}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n-1}(\Phi^2)-(1-\Phi)^{n-1}(1-\Phi)^2}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{\Phi^{n+1}-(1-\Phi)^{n+1}}{\sqrt{5}} \end{array} [/math] |
Erweiterung auf eine kontinuierliche Funktion
Nun ist es auch möglich, in diese Formel nicht ganzzahlige Werte einzusetzen. In diesem Fall ist das Ergebnis jedoch nicht mehr reell, sondern komplex und man erhält (im Folgenden zeigt die y-Achse dem Imaginär- und die x-Achse den Realteil an):