Version vom 5. August 2021, 10:02 Uhr

Einleitung

Zahlen

Cauchy

Cauchy-Folge

Quellen

Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-662-56740-1, S.190, 1053, 1173
Höhere Mathematik, Verlag Harri Deutsch, ISBN: 978-3-8171-1872-4, *73.10,74.1,81.13*
Grundwissen Mathematikstudium, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8274-2308-5, S.297, 772
Lexikon der Mathematik BAND:1, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 3-8274-0303-0, S.292ff.
Das Rätsel von Pierre de Fermat, Librero, ISBN: 978-90-8998-719-8, S.95, 107, 113, 132
Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer-Spektrum, ISBN: 978-3-8351-0123-4, S.243
dtv-Atlas der Mathematik Band 1, Dtv, ISBN: 3-423-03007-0, S.61
Rechnen und Mathematik, Bertelsmann Lexikon-Verlag, Buch-Nr. 1599'1180, S.447

Weiterführende Literatur

Autoren

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VL1:

Die Anordnungsaxiome: Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Teilmenge [math]P \subset K [/math], die die Axiome O1 und O2 erfüllen. Statt a \in P schreiben wir a>0, sprich: "a positiv".

O1 Für jedes a \in K gilt genau eine der folgenden Aussagen:

i)	[math]a\in P[/math]	a>0
ii)	a = 0	a = 0
iii)	[math]-a\in P[/math]	-a>0

O2

[math]a,b\in P \Rightarrow a+b, ab \in P || a,b \gt 0 \Rightarrow a+b\gt 0 \land ab\gt 0 [/math]

Es sei M eine Teilmenge des angeordneten Körpers K. Ein Element <math>s\in K<\math> heißt Supremum vom M, falls gilt:

s ist eine obere Schranke von M
Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math> t \geqq s <\math>

D.h. s ist die "kleinste obere Schranke" von M.

Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math> a:\mathbb{N} \to \mathbb{Q} <\math>. Wir schreiben <math> a=(a_n)_n \in \mathbb{N} <\math>.

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math> \forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \ge n_0 : |a_n - a_m|<ε

(a_n)_n mit a_n = n+1 es gilt <math>|a_m - a_n|=|m-n|\ge 1 <\math> für <math>m \neq n<\math>
(d_n)_n mit d_n = 1/n ist eine Cauchy-Folge. Sei ε>0 und <math>N \in \mathbb{N}<\math> mit <math>1/N \leq ε<\math>. Wenn m>n>N |d_m - d_n|=|1/m - 1/n|=1/n - 1/m < 1/N - 1/m < ε.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt nicht in <math>\mathbb{Q}<\math>! (Aber in <math>\mathbb{R} \lor \mathbb{C}<\math>)

VL2:

Sei C die Menge der Cauchy-Folgen auf <math>\mathbb{Q}<\math>.

Eigenschaften von Cauchy-Folgen

Seien <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} \in C <\math>. Dann gilt: a) <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> ist beschrankt. b) <math> (x_n + y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> c) <math> (x_n * y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math> d) Ist <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge <math>\Rightarrow \exists ε>0, ε\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{N}<\math> entweder <math>x_n\geq ε \forall n \geq N \lor x_n\leq -ε \forall n \geq N<\math> e) ISt <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge, <math>x_n\neq 0 \forall n\in \mathbb{N} \Rightarrow ((x_n)^(-1))\in C <\math>

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-* VL:
+* VL1:
 Die Anordnungsaxiome:
 Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Teilmenge <math>P \subset K </math>, die die Axiome O1 und O2 erfüllen. Statt a \in P schreiben wir a>0, sprich: "a positiv".
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 | <math>a,b\in P \Rightarrow a+b, ab \in P || a,b >0 \Rightarrow a+b>0 \land ab>0 </math>
 |}
 Es sei M eine Teilmenge des angeordneten Körpers K. Ein Element <math>s\in K<\math> heißt Supremum vom M, falls gilt:
 * s ist eine obere Schranke von M
-* Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math>t\geq s<\math>
+* Ist t eine obere Schranke von M, so folgt: <math> t \geqq s <\math>
 D.h. s ist die "kleinste obere Schranke" von M.
-Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math>a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}<\math>. Wir schreiben <math>a=(a_n)_n\in\mathbb{N}<\math>.
+Eine Folge Reeller Zahlen ist eine Abbildung <math> a:\mathbb{N} \to \mathbb{Q} <\math>. Wir schreiben <math> a=(a_n)_n \in \mathbb{N} <\math>.
-Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math>\forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \geq n_0 : |a_n - a_m|<ε
+Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls gilt: <math> \forall ε>0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m,n \ge n_0 : |a_n - a_m|<ε
-*
+*(a_n)_n mit a_n = n+1 es gilt <math>|a_m - a_n|=|m-n|\ge 1 <\math> für <math>m \neq n<\math>
+*(d_n)_n mit d_n = 1/n ist eine Cauchy-Folge. Sei ε>0 und <math>N \in \mathbb{N}<\math> mit <math>1/N \leq ε<\math>. Wenn m>n>N |d_m - d_n|=|1/m - 1/n|=1/n - 1/m < 1/N - 1/m < ε.
+Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt nicht in <math>\mathbb{Q}<\math>! (Aber in <math>\mathbb{R} \lor \mathbb{C}<\math>)
+* VL2:
+Sei C die Menge der Cauchy-Folgen auf <math>\mathbb{Q}<\math>.
+===Eigenschaften von Cauchy-Folgen===
+Seien <math> (x_n)_n\in\mathbb{N},(y_n)_n\in\mathbb{N} \in C <\math>. Dann gilt:
+a) <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> ist beschrankt.
+b) <math> (x_n + y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math>
+c) <math> (x_n * y_n)_n\in\mathbb{N} \in C<\math>
+d) Ist <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge <math>\Rightarrow \exists ε>0, ε\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{N}<\math> entweder <math>x_n\geq ε \forall n \geq N \lor x_n\leq -ε \forall n \geq N<\math>
+e) ISt <math> (x_n)_n\in\mathbb{N} <\math> keine Nullfolge, <math>x_n\neq 0 \forall n\in \mathbb{N} \Rightarrow ((x_n)^(-1))\in C <\math>
+===Konstruktion der Menge <math>\mathbb{R}<\math> als Körper===

Konstruktion der Reellen Zahlen: Unterschied zwischen den Versionen