Fourieranalyse: Unterschied zwischen den Versionen
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===Beispiele=== | ===Beispiele=== | ||
Version vom 19. August 2021, 17:07 Uhr
Einleitung
Fourier-Reihen
Anschauung
Summendarstellung
Beweis der Konvergenz einer Reihendarstellung
Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein [math] \: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} [/math] und ein [math] x /in \mathbb{R} [/math] im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten
[math] f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) + f( x^-)}{2} [/math]
Nun können wir die Aussage dieses Abschnitts formulieren:
Konvergenzsatz von Dirichlet
Beispiele
Zeichnen mit Fourierreihen
Fouriertransformation
Inverse Fouriertransformation
Man kann diese Transformation auch in die andere Richtung vollziehen. Diese inverse Transformation lautet dann:
[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\mathbb{R}^n}\ (\mathbb{F}f)\ (y)\ e^{iy\dot x} dy [/math]