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Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen <math>\operatorname{H}_n </math>, welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden. | Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen <math>\operatorname{H}_n </math>, welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden. | ||
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Version vom 10. September 2021, 11:39 Uhr
Berechnung von Homologie mittels Smith-Normalform
Was ist Homologie?
Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen [math]\operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.
Die Homologiegruppen
Komplex:
Zunächst müssen wir verstehen, was ein sogenannter Komplex ist. Dies geht allerdings sehr rasch; ein Komplex ist eine Folge von Moduln [math]A_n [/math] über einem Ring [math]R [/math] zusammen mit Übergangsabbildungen [math]d_n : A_n \to A_{n-1} [/math], sodass die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Übergangsabbildungen null ergibt, also, dass für alle [math] n \in \mathbb{N}[/math] gilt [math] d_n \circ d_{n-1} = 0[/math].
Homologie:
Darauf aufbauend ist die Homologie jetzt einfach definiert als:
[math]\operatorname{H}_n := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math]