Benutzer:Rk192

Berechnung von Homologie via Smith Normalform

Smith Normalform

Die Smith Normalform einer Matrix [math] M [/math] über einem Hauptidealring [math] R [/math] ist eine Matrix der Gestalt

[math] S = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \alpha_2 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \alpha_{n-1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha_n \end{pmatrix}, [/math]

sodass invertierbare Matrizen [math] U,V \in \operatorname{Gl}_n(R) [/math] existieren mit

[math] M = USV [/math]

Was ist Homologie?

Eine Homologie ist ein mathematisches Objekt und beschreibt die Folge von Gruppen [math]\operatorname{H}_n [/math], welche etwas an Vorarbeit benötigen um verstanden zu werden.

Die Homologiegruppen

Sei [math]R[/math] ein Hauptidealring.

Komplex:

Zuerst müssen wir verstehen, was ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln ist. Ein Komplex ist eine Folge von [math]R[/math]-Moduln [math](A_n)_{n \in \mathbb{Z}}[/math] zusammen mit [math]R[/math]-linearen Übergangsabbildungen [math](d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}[/math], sodass

[math]d_n \circ d_{n+1} = 0[/math]

für jedes [math]n \in \mathbb{Z}[/math] gilt. Anders formuliert ist ein Komplex also ein Diagramm

[math]... \rightarrow A_{n+1} \rightarrow A_n \rightarrow A_{n-1} \rightarrow ...[/math]

von [math]R[/math]-Modulhomomorphismen, wobei zusätzlich

[math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq \operatorname{ker}(d_n)[/math]

für alle Homomorphismen des Diagramms gilt. Oft notieren wir einen Komplex durch [math]A_\bullet[/math], d.h. wir lassen die Übergangsmorphismen weg, wenn sie aus dem Kontext klar sind.

Homologie:

Nun können wir die Homologie eines Komplexes einführen. Sei [math]A_{\bullet}[/math] ein Komplex von [math]R[/math]-Moduln. Die [math]n[/math]-te Homologie von [math]A_{\bullet}[/math] ist

[math] \operatorname{H}_n(A_{\bullet}) := \operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1}) [/math].

Sie ist wohldefiniert, da laut Definition [math]\operatorname{im}(d_{n+1}) \subseteq\operatorname{ker}(d_n)[/math] gilt. Die Homologie ist eine wichtige Invariante von Komplexen, da die [math]n[/math]-te Homologie angibt wie weit der Komplex von

[math]\operatorname{ker}(d_n) = \operatorname{im}(d_{n+1})[/math]

abweicht.