Die Feigenbaum Konstante

%TODO: Gliederung

%%hier ist der erste Teil der Gliederung anhand des Numberphile Videos,das Veritasium Video baue ich morgen ein (samstag .15.49) a.m.

%% HIER FRAGEN REINSCHREIBEN

%PART 0: kurze vorstellung der Feigenbaumkonstante mü =4.66 ...

%PART 1 .BASICS der Funktion (logistische Gleichung) https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

%% X_n+1 = lambda * X_n *(G-X_n), (G ist die obere schranke der zu beobachteten population und lambda ist der parameter an dem wir rumspielen

%% beispiele anhand von Hasenpopulationen machen, Bilder mit kleinen niedlichen hasen einfügen, einer soll eine schrotflinte in der hand haben, und irgendwie den teil signalisieren , dass mehr hasen sterben als geboren werden wenn X_n nahe an G ist

%% ==> mit X_n haben wir eine Folge (Ana1), X_0 muss dabei zwischen [0,G] sein (populationsstart sollte trivialerweise positiv sein und unter der oberen Schranke der Populationsgröße sein)

%% G>0

%% lambda>0 und kleiner als ____

%% beispiel für lambda (fest gewählt) benutzen und zeigen dass für verschiedene Startwerte die Konvergenz für n gegen unendlich sich nicht verändert und gegen den gleichen fixpunkt konvergiert, hier kann man zwei verschiedene X_0 benutzen und mit einer beispielrechnung zeigen, dass sie nach 10/20 schritten fast die gleichen ergebnisse haben

%%noch mehr Bilder mit süßen niedlichen hasen zeichnen

%PART 2: Der chaotische Graph https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png

Wir bersprechen hier einen Graphen , dessen X Achse der lambda wert ist, und dessen y achse die häufungspunkte der Folge X_n mit diesem Lambda .

(hier soll von links nach rechts der Graph immer ein bisschen mehr enthüllt werden)

1.Teil : Tod ( 0=<lambda<= 1)

DIe hasen population stirbt in jedem Fall aus, d.h. Die Fixpunkte sind null und somit auch Y-Wert

%Bild von Hasenfriedhof einzeichnen,soll aber trotzdem cute sein

2.Teil : 1 Fixpunkt ( 1=<lambda<= 3)

hier nähert sich die Population einem Fixpunkt an, man merkt auch dass es streng monoton wachsend ist

3.Teil : 2 Fixpunkte(3<= lambda <= 1+Wurzel(6)) (ca.3.45))

Die reihe konvergiert nicht mehr sondern hüpft zwischen zwei fixpunkten hin und her, der größere fixpunkt steigt monoton bei steigendem lambda, der kleiner fällt monoton

4.Teil 2^n Fixpunkte (1+Wurzel(6)) (ca.3.45)<= lambda <= ca.3,57)

die anzahl der fixpunkte verdoppeln sich immer häufiger.

5.Teil Chaos (3.57 <=lambda <= 4)

joa chaos halt, hier ist auch plötzliche die Änderung des Startwertes doch wieder von Interesse, da durch minimale Änderungen der Startwerte sich alles ändern kann. Es gibt jedoch ab und zu mal werte, welche sich wieder stabilisieren, sieht man gut im Graphen

#Bild von hasen zeichnen , der aus der Wirklichkeit rausglitcht

6.Teil Divergenz lambda >4

hier divergiert die folge ins unendliche

% DIE KONSTANTE: hierzu betrachten wir den 3 und 4. Teil des Graphen. Def. Bifurkationsintervall: Intervall von lambda welche die gleiche anzahl häufungspunkte haben. zb. [3,3.45] hat zwei Häufuingspunkte, dies nennen wir jetzt mal A_1 und jedes drauffolgende A_n ist das zugehörige Intervall der Strecke mit 2^n Häufungspunkten.

Teilen wir die Länge zweier beliebiger benachbarter A_n dann kommt die Feigenbaumkonstante raus.

FBK = A_n/A_n+1

Beispiel lässt sich hier gut durchrechnen mit A_2 und A_1

nun lässt sich auch ausrechnen wann das Chaos beginnt, da wir mit A_n eine folge haben, welche immer kleiner wird (nullfolge) aka irgendwann die Verdopplung immer öfter passieren bis es dann zum chaos wird

% bezug zum mandelbrotset,

also irgendwie ist da das mandelbrotset drin, das verstehe ich morgen bestimmt XD

AND THATS MY TED TALK, I WANNA THANK MA MUM GOODBYE