Fourieranalyse

Fourier-Reihen

Konvergenz einer Reihendarstellung

Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein [math] \: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} [/math] und ein [math] x /in \mathbb{R} [/math] im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten

[math] f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) + f( x^-)}{2} \\ f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\ f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} [/math]

Nun können wir die zentrale Aussage dieses Abschnitts formulieren:

Konvergenzsatz von Dirichlet

Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2\pi \; [/math]-periodisch und integrierbar auf [math] [ 0, 2π ] [/math]. Sei [math] x  \in  \mathbb{R} [/math] derart, dass [math] f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, [/math] und [math] \, f´(x^−) \, [/math] existieren. Dann gilt [math] \, FS(f)(x) = f(x^+_-) [/math].

Insbesondere gilt also, falls [math] \, f \, [/math] in [math]\, x \, [/math] differenzierbar ist, [math] \, FS(f)(x) = f(x) [/math].

Beweis

Wir definieren zunächst: Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] heiße die Funktion [math] D_n: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{C}, \; x \mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx} \\ [/math] der n-te Dirichlet-Kern. Nun benötigen wir erst einmal einige Hilfssätze. Lemma 1: (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne) Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] und alle [math] x  \in  \mathbb{R} \setminus \{ 2\pi a | a  \in  \mathbb{Z} \} [/math] gilt [math] D_n(x)  = \frac{\sin(n x + x/2)}{\sin(x/2)} [/math]. Weiter ist [math] D_n(2 \pi a)  =  2n + 1 [/math]  für alle [math] \; a  \in \mathbb{Z} [/math]. Beweis: Sei [math] x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 \pi a | a \in \mathbb{Z} \} [/math]. Dann gilt [math] D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = e^{-inx} \sum_{k=0}^2n e^{ikx} [/math]. Da gilt [math] e^{inx} \neq 1 [/math], folgern wir aus der Formel der Partialsummen einer geometrischen Reihe [math] \begin{align} D_n &= e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{-inx}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{-\frac{x}{2}}} \frac{e^{i(2n+1)x}-1}{e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{i (n + \frac{1}{2}) x} − e^{−i (n + \frac{1}{2}) x}}{e^{\frac{i x}{2}} − e^{− i \frac{x}{2}}} \end{align} [/math] Nun folgern wir aus der Euler-Formel für beliebige [math] \varphi \in \mathbb{R} : \; e^{i \varphi} - e^{-i \varphi} = 2i \sin(\varphi) [/math]. Damit gilt [math] D_n(x) = \frac{\sin(nx + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} [/math]. Des weiteren gilt für alle [math] a \in \mathbb{Z}: \; D_n(a2 \pi) = \sum_{k=-n}^{n}1 = 2n+1 [/math]. Lemma 2: Sei [math] f: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{C} \; 2 \pi [/math]-periodisch und integrierbar. Dann gilt für alle [math] n \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R} [/math] [math] \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt \end{align} [/math]

Fouriertransformation

Inverse Fouriertransformation

Man kann diese Transformation auch in die andere Richtung vollziehen. Diese inverse Transformation lautet dann:

[math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\mathbb{R}^n}\ (\mathbb{F}f)\ (y)\ e^{iy\dot x} dy [/math]

Weiterführende Links

• https://olgaritme.com/posts/drawing-with-the-fourier-series/index.html