Fourieranalyse
Einleitung
Fourier-Reihen
Anschauung
Summendarstellung
Wir betrachten zunächst eine bezüglich des Intervalls [math] [ - \pi, \pi][/math] [math]2 \pi[/math]--periodische, abschnittsweise stetige und integrierbare Funktion [math]f[/math].
Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion [math] f[/math] ist eine Reihendarstellung aus komplexwertiger [math]e[/math]-Funktionen:
- [math] \displaystyle f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx}~, c_k \in \mathbb{C}[/math]
Dies lässt sich auch umschreiben:
- [math] \displaystyle f = \sum_{k = -\infty} ^ \infty c_k e^{ikx} = c_0 + \sum_{k = 1} ^\infty (c_k + c_{-k}) \cos (kx) + i(c_k - c_{-k}) \sin (kx) := \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx) [/math]
mit [math] a_k = c_k + c_{-k} [/math], [math] b_k = i(c_k - c_{-k}) [/math] und insbesondere [math] a_0 = 2c_0 [/math]. Es ist ersichtlich, dass die [math]2\pi[/math]-periodische Funkion [math]f[/math] als gewichtete Summe aller [math]2\pi[/math]-periodischen Sinus und Cosinus dargestellt wird.
Berechnung der Koeffizienten
Ist eine Funktion [math]f[/math] gegeben, so müssen nur die Koeffizienten [math]c_k[/math] bestimmt werden. Hierfür ist folgende Beobachtung essenziell, für [math]k \neq 0[/math]:
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^ \pi e^{ikx} \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos (kx) \text{d}x + i \int_{-\pi}^{\pi} \sin (kx) \text{d}x = \big[- \frac{1}{m} \sin (kx) \big]_{-\pi}^\pi + \big[ i \frac{1}{m} \cos (kx) \big]_{-\pi}^{\pi} = 0 [/math]
Für [math]k = 0[/math] ist das Integral trivialerweise 1. Somit gilt der Zusammenhang
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \text{d}x = \int_{-\pi}^\pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{ikx} \text{d}x = c_0 [/math]
und
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot e^{-inx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{i(k-n) x} \text{d}x = c_n [/math]