Fourieranalyse
Einleitung
Fourier-Reihen
Anschauung
Summendarstellung
Wir betrachten zunächst eine bezüglich des Intervalls [math] [ - \pi, \pi][/math] [math]2 \pi[/math]--periodische, abschnittsweise stetige und integrierbare Funktion [math]f[/math].
Die Fourier-Reihe zu dieser Funktion [math] f[/math] ist eine Reihendarstellung aus komplexwertiger [math]e[/math]-Funktionen:
- [math] \displaystyle f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx}~, c_k \in \mathbb{C}[/math]
Dies lässt sich auch umschreiben:
- [math] \displaystyle f = \sum_{k = -\infty} ^ \infty c_k e^{ikx} = c_0 + \sum_{k = 1} ^\infty (c_k + c_{-k}) \cos (kx) + i(c_k - c_{-k}) \sin (kx) := \frac{a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx) [/math]
mit [math] a_k = c_k + c_{-k} [/math], [math] b_k = i(c_k - c_{-k}) [/math] und insbesondere [math] a_0 = 2c_0 [/math]. Es ist ersichtlich, dass die [math]2\pi[/math]-periodische Funkion [math]f[/math] als gewichtete Summe aller [math]2\pi[/math]-periodischen Sinus und Cosinus dargestellt wird.
Berechnung der Koeffizienten
Ist eine Funktion [math]f[/math] gegeben, so müssen nur die Koeffizienten [math]c_k[/math] bestimmt werden. Hierfür ist folgende Beobachtung essenziell, für [math]k \neq 0[/math]:
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^ \pi e^{ikx} \text{d}x = \int_{-\pi}^{\pi} \cos (kx) \text{d}x + i \int_{-\pi}^{\pi} \sin (kx) \text{d}x = \big[- \frac{1}{m} \sin (kx) \big]_{-\pi}^\pi + \big[ i \frac{1}{m} \cos (kx) \big]_{-\pi}^{\pi} = 0 [/math]
Für [math]k = 0[/math] ist das Integral trivialerweise 1. Somit gilt der Zusammenhang
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \text{d}x = \int_{-\pi}^\pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e^{ikx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{ikx} \text{d}x = c_0 [/math]
und
- [math] \displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot e^{-inx} \text{d}x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^\pi c_k e^{i(k-n) x} \text{d}x = c_n [/math]
Konvergenz einer Reihendarstellung
Um uns mit der Konvergenz einer Fourier-Reihe zu einer gegebenen Funktion zu befassen, definieren wir zunächst für ein [math] \: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} [/math] und ein [math] x \in \mathbb{R} [/math] im Fall der Existenz der jeweiligen Limiten
[math] f( x^+) := \lim_{t \searrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f( x^-) := \lim_{t \nearrow x} f(t) \: \: \: \: \: \: f(x^+_-) := \frac{f( x_+) + f( x^-)}{2} \\ f´( x^+) := \lim_{t \searrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} \\ f´( x^-) := \lim_{t \nearrow 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} [/math]
Nun können wir die zentrale Aussage dieses Abschnitts formulieren:
Konvergenzsatz von Dirichlet
Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \; 2\pi[/math]-periodisch und integrierbar auf [math] [ 0, 2π ] [/math]. Sei [math] x \in \mathbb{R} [/math] derart, dass [math] \, f( x^+), \, f( x^-), \, f´(x^+) \, [/math] und [math] \, f´(x^−) \, [/math] existieren. Dann gilt [math] \, FS(f)(x) = f(x^+_-) [/math].
Insbesondere gilt also, falls [math] \, f \, [/math] in [math]\, x \, [/math] differenzierbar ist, [math] \, FS(f)(x) = f(x) [/math].
Beweis |
Wir definieren zunächst:
Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] heiße die Funktion [math] D_n: \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{C}, \; x \mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx} \\ [/math] der n-te Dirichlet-Kern. Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis des Satzes beginnen, benötigen wir enige Hilfssätze: Lemma 1: (Sinusdarstellung der Dirichlet-Kerne) Für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] und alle [math] x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2\pi a \, |\, a \in \mathbb{Z} \} [/math] gilt [math] D_n(x) = \frac{\sin(n x + x/2)}{\sin(x/2)} [/math]. Weiter ist [math] D_n(2 \pi a) = 2n + 1 [/math] für alle [math] \; a \in \mathbb{Z} [/math].
Sei [math] x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 \pi a | a \in \mathbb{Z} \} [/math]. Dann gilt [math] D_n(x) = \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = e^{-inx} \sum_{k=0}^{2n} e^{ikx} [/math]. Da gilt [math] e^{inx} \neq 1 [/math], folgern wir aus der Formel der Partialsummen einer geometrischen Reihe [math] \begin{align} D_n &= e^{-inx} \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{-inx}e^{-\frac{x}{2}}}{e^{-\frac{x}{2}}} \frac{e^{i(2n+1)x}-1}{e^{ix}} \\ \\ &= \frac{e^{i (n + \frac{1}{2}) x} − e^{−i (n + \frac{1}{2}) x}}{e^{\frac{i x}{2}} − e^{− i \frac{x}{2}}} \end{align} [/math] Nun folgern wir aus der Euler-Formel für beliebige [math] \varphi \in \mathbb{R} : \; e^{i \varphi} - e^{-i \varphi} = 2i \sin(\varphi) [/math]. Damit gilt [math] D_n(x) = \frac{\sin(nx + \frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} [/math]. Des weiteren gilt für alle [math] a \in \mathbb{Z}: \; D_n(a2 \pi) = \sum_{k=-n}^{n}1 = 2n+1 [/math].
Lemma 2: Sei [math] \, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \; 2 \pi [/math]-periodisch und integrierbar. Dann gilt für alle [math] n \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R} [/math] [math] \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt \end{align} [/math]
Sei [math] n \in \mathbb{N} [/math], dann gilt für alle [math] x \in \mathbb{R} [/math] laut der Formel für die Koeffizienten einer Fourier-Reihe [math] \begin{align} FS_n(f)(x) &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \int_{0}^{2 \pi} f(t)e^{-ikx} \, dt \; e^{ikx} \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \sum_{k=-n}^{n} e^{ik(t-x)} \, dt \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) \end{align} [/math]. Des weiteren können wir durch die Substitutionsregel mit [math] "t=x-y" [/math] folgern [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{x}^{x-2 \pi} -f(x-y) D_n(y) \, dy [/math] Da [math] \, f [/math] und [math] D_n \; 2\pi[/math]-periodisch sind, gilt somit [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{x}^{x-2 \pi} -f(x-y) D_n(y) \, dy = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x-t) D_n(t) \, dt [/math]. Analog zeigt man durch Substitution mit [math] t=x+y [/math] unter Verwendung von [math] D_n(-t) = D_n(t) [/math], dass gilt [math] \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) D_n(x-t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x+t) D_n(t) \, dt [/math].
Sei [math] \, f: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} [/math] integrierbar. Dann gilt [math] \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) sin(nx) \, dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) cos(nx) \, dx = 0 [/math] Selbiges gilt für [math] "n \rightarrow -\infty" [/math]
[math] \begin{align} \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} \int_{t_k}^{t_{k+1}} g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} c_k \int_{t_k}^{t_{k+1}} sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &= \Bigl| \sum_{k=0}^{r-1} c_k \Bigl[\frac {cos(nx)}{n} \Bigl]_{t_k}^{t_{k+1}} \, dx \Bigl| \\ &\leq \frac{2}{n} \Bigl| \sum_{k=1}^{r} c_k \Bigl|. \end{align} \\ \\ \Rightarrow \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 [/math]
[math] \Bigl| \int_a^b f(x)-g(x) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} [/math]. (Die Integrierbarkeit von [math] \, f [/math] impliziert dessen Aproximierbarkeit durch Treppenfunktionen) Sei nun [math] N \in \mathbb{N} [/math] so gewählt, dass für alle [math] n \in \mathbb{N} [/math] gilt [math] n\gt N \Rightarrow \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} [/math]. Dann gilt für alle [math] n \gt N [/math] [math] \begin{align} \Bigl| \int_a^b f(x) sin(nx) \, dx \Bigl| &= \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) sin(nx) \, dx + \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &\leq \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) sin(nx) \, dx \Bigl| + \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \\ &\leq \Bigl| \int_a^b (f(x)-g(x)) \, dx \Bigl| + \Bigl| \int_a^b g(x) sin(nx) \, dx \Bigl| \lt \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align} [/math] |