Museumswächterproblem

Das Museum ist wegen Corona geschlossen, deswegen werden keine Wächter benötigt:-(

Museum-Ritter

Zuerst betrachten betrachten wir das Museum-Ritter, welches zum gleichnamigen Schokoladenhersteller gehört. Natürlich ist der Grundriss perfekt quadratisch. Der Museumsdirektor möchte nun Museumswächter einstellen und fragt sich, wie viele Leute er anstellen muss, wenn ein Wächter sich zwar nicht frei im Raum bewegen, aber sich um seine Achse drehen darf. Diese Frage ist trivial, es reicht ein Wächter, irgendwo im Raum positioniert. Wie sieht es aber aus, wenn das Museum einen etwas komplizierteren Grundriss besitzt?

Satz

Nun betrachten wir ein Museum mit einem beliebigen Grundriss, welcher allerdings komplexer ist als der Grundriss des Museum-Ritter. Einzige Voraussetzung ist, dass sich alle Wände durch eine Gerade Beschreiben lassen. Nun möchte unser Museumsdirektor wieder Wächter einstellen und fragt sich, wie viele er braucht, damit diese das komplette Museum im Blick haben. Auch hier gilt wieder, dass sich die Wächter nicht hin und her bewegen, sondern auf ihren Plätzen bleiben und sich nur um ihre Achse drehen können. Dann benötigt man folgende Anzahl an Wächtern:

Für jedes Museum mit [math]n[/math] Wänden reichen [math]\lfloor \frac{n}{3} \rfloor[/math] Wächter aus.

Beweis nach Steve Fisk

Definition: Polygon

Ein Polygon ist ein Tupel [math]P=: \left(P_1,P_2,\dots,P_n \right)[/math], von verschiedenen Punkten [math]P_i,\ 1\leq i\leq n,\ n\in\mathbb{N}[/math]