Riemannsche Vermutung

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Einführung

Riemann'sche Zeta - Funktion

Dirichlet-Reihen

Die Riemann'sche Zeta-Funktion [math] \zeta (s) [/math] ist eine komplexwertige Funktion. Häufig wird sie über eine Dirichlet-Reihe definiert, nämlich [math] \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} [/math] Eine Dirichlet-Reihe ist Allgemein definiert als [math]F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}[/math] mit [math]s \in \mathbb{C}[/math], die Zeta Funktion entspricht als der Dirichlet Reihe mit [math]f(n) = 1[/math].

[math] \zeta (1)[/math] entspricht hierbei der bekannten harmonischen Reihe, darum ist es wenig verwunderlich, dass die Dirichlet-Reihe bei [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math] konvergiert, während dies für [math] \text{Re}(s) \leq 1 [/math]im Allgemeinen nicht der Fall ist. Deshalb charakterisiert die Dirichlet-Reihe die Zeta-Funktion nur für [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math].

Euler-Produkt

Das Euler-Produkt einer Dirichlet-Reihe [math] F(s) [/math] ist allgemein

[math]\displaystyle F(s) = \prod _{p ~\text{prim}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{f(p^k)}{p^{ks}} [/math].

Im Fall [math] f(s) = 1 [/math] ist dies gleich der Zeta-Funktion, und es gilt

[math]\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p ~\text{prim}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{p^{ks}}[/math].

Da jede Summe eine geometrische Reihe mit Quotient [math] p^{-s} [/math] bildet, folgt

[math]\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p \text{ prim}} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s}} [/math].


Ein schöner Beweis der Gleichheit dieser Charakterisierungen mittels Sieben ist in [3] zu sehen.

Auch diese, äquivalente Beschreibung der Riemannschen Zeta-Funktion gilt nur für [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math].


Analytische Fortsetzung

Eine komplexe Funktion, die an jedem Punkt einer zusammenhängenden offenen Menge [math]U[/math] komplex differenzierbar ist, heißt holomorph in [math]U[/math]. Ist eine holomorphen Funktion [math]f[/math] nur auf einer Teilmenge einer Obermenge definiert, so existiert höchstens eine Funktion [math]f^*[/math], welche auf der Teilmenge mit [math]f[/math] übereinstimmt und in der Obermenge holomorph ist. Diese nennt man die analytische Fortsetzung von [math]f[/math]. Die Riemannschen Zeta-Funktion lässt sich eindeutig auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] fortsetzen, mit einer Definitionslücke bei [math]s = 1[/math].

Um die erweiterte Form einmal gesehen zu haben, hier ist eine Darstellung, mit der Gamma Funktion [math]\Gamma [/math] und den Bernoullizahlen [math]B_n[/math], für welche wir auf entsprechende Wikipedia Artikel verweisen wollen: [math]\displaystyle \zeta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)} \left( \frac{1}{s-1} \frac{1}{2s} \sum_{n=2}^\infty \frac{B_n}{n!} \frac{1}{s + n -1} + \int_1 ^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \right) [/math]

Eine Herleitung und weiterführende Informationen sind aber zum Beispiel in [1] gegeben und eine graphische Anschauung in [2].

Nullstellen der Zeta-Funktion

Für besonderes Interesse sind die Nullstellen der Zeta-Funktion. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf -2, -4, -6 usw. Diese ergeben sich, da die Gamma-Funktion bei allen negativen ganzen Zahlen Polstellen hat, für ungerade Werte werden diese jedoch durch Polstellen des Klamemerausdrucks "weggehoben". Die Position der nicht trivialen Nullstellen zu bestimmen ist eines der größten ungelößten Probleme der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht trivialen Nullstellen den Realteil [math]\frac{1}{2}[/math] habe, was bisher weder bestätigt, noch widerlegt werden konnte.


Zusammenhang mit Primzahlen

Primzahlsatz: [math][/math] [math]\displaystyle \lim _{{x\to \infty }}{\frac {\pi (x)}{{\frac {x}{\ln(x)}}}}=1[/math], also [math]\displaystyle \pi (x) \sim \frac{x}{\ln {x}} [/math] (sie sind "asymptotisch äquivalent, bzw. werden prozentual immer genauer).

Dies entspricht wohl im Großen und Ganzen, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen [math] s [/math] mit [math]\operatorname{Re}(s) \ge 1 [/math] hat. (die trivialen sind alle negativ und die nicht-trivialen haben laut Riemannscher Vermutung alle den Imaginärteil 1/2).


[math]\displaystyle \mathrm{Li}(x):=\int _{2}^{x}{\frac { \mathrm{d}t }{\ln {t}} } [/math] ist eine bessere Approximation als [math] \frac{x}{\ln {x}} [/math].


Primzahlfunktion: [math]{\displaystyle \pi (x):=\left|\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}\right|}[/math] also der Anzahl der Primzahlen [math]\le x[/math].

Wäre eine analytische Funktionsgleichung der Primzahlfunktion bekannt, wäre die genaue Verteilung der Primzahlen bekannt, und ob eine Zahl eine Primzahl ist, könnte einfach abgelesen werden. Diese analytische Form zu finden, ist das Ziel der ganzen folgenden Gleichungen und Umformungen. (Letztendlich wird eine Formel gefunden, in die aber alle (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen).

[Ein Bild der Stufenfunktion [math]\pi(x)[/math] sollte hier irgendwo dazu]

Zetafunktion: [math]\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}[/math]

Die Zetafunktion hängt direkt mit den Primzahlen zusammen: [math]\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}[/math]

Diese zweite Form der Zetafunktion (mit dem Produkt) lässt sich umwandeln in eine Formel für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] :

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-ns}}{n}}}[/math]

Um weiterzukommen wird zunächst folgende Funktion "willkürlich" definiert (eigentlich ist sie genau so definiert, dass sie die richtige Form hat, um sie später benutzen zu können):

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{n}\lt x}{\frac {1}{n}}=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Theta (x-p^{n})}{n}}}[/math] [hier kann vielleicht die zweite Form ganz weggelassen werden, wenn es mathematisch nicht so genau beschrieben wird und dann gar nicht mehr vorkommt]

Mithilfe dieser Funktion lässt sich [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in Integralform schreiben:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int \limits _{0}^{\infty }x^{-s-1}\Pi (x)\mathrm {d} x}[/math]

Dieser Ausdruck lässt sich über eine inverse Mellin-Transformation "umkehren" zu:

[math]{\displaystyle \Pi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s}[/math] (mit einem [math] c\gt 1 [/math])

Produktdarstellung der Riemannschen Xi-Funktion, wobei [math]\rho[/math] die (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion sind:

[math]{\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}[/math] [Übrigens entspricht die Riemannsche Vermutung genau der Aussage, dass alle Nullstellen von [math]{\displaystyle \Xi (t)=\xi ({\textstyle {\frac {1}{2}}+it})}[/math] reell sind]

Hieraus lässt sich eine zweite Form für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] formulieren:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{\rho }\ln \left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)-\ln 2-\ln \Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)+{\frac {s}{2}}\ln \pi -\ln(s-1)}[/math]

Indem man [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in der obigen Gleichung [math]\Pi (x)[/math] substituiert (was wohl mathematisch sehr anspruchsvoll ist), erhält man eine Formel für [math]\Pi (x)[/math], in die "einfach" die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen:

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\mathrm {Li} (x)-\sum _{\rho }\mathrm {Li} (x^{\rho })-\ln 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\ln t}}}[/math]

Über die Möbius-Inversion lässt sich folgender Zusammenhang zwischen [math]\pi (x)[/math] und [math]\Pi (x)[/math] herleiten (mit der Möbiusfunktion [math]\mu (n)[/math]) : [Wikipedialink zur Möbius-Funktion]

[math] {\displaystyle {\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})}} [/math]

Benutzt man hier nun für [math]\Pi (x)[/math] den Ausdruck mit den nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion, hat man eine analytische Darstellung der Primzahlfunktion [math]\pi (x)[/math] hergeleitet, was ursprünglich das Ziel des Ganzen war. Das Problem liegt ab hier also im Finden und in der Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion. Genau daher kommt auch die Relevanz der Riemannschen Vermutung für die Verteilung der Primzahlen.

Bedeutung in der Wissenschaft

Es gibt sowohl eine Vielzahl von wichtigen Theoremen und Aussagen die aus der Riemannschen Vermutung folgen bzw. nur unter der Annahme, dass diese der Wahrheit entspricht gezeigt werden konnten, als auch einige für die gezeigt werden konnte, dass sie equivalent zu dieser sind.

Aus der Riemannschen Vermutung folgt eine sehr scharfe Restgliedabschätzung im Primzahlensatz der Form: [math]\pi(x) = \mathrm{Li}\,x+\mathcal{O}(\sqrt x\cdot\log x)[/math] Daraus ließen sich schnelle Primzahlentests entwickeln welche wiederum essentiell sind in der modernen Kryptographie (RSA – Verfahren…?)

In den 1970er Jahren entdeckte Hugh Montgomery, dass die Verteilung der Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen eine ähnliche Verteilung wie die Eigenwerte hermitescher Zufallsmatrizen (vgl. dazu auch Zufallsmatrizen - Bohemians und die geheimnisvolle Ordnung im Chaos) zeigt. Insgesamt ist also klar, dass tiefe Verbindungen zwischen der Riemann’schen Vermutung und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Physik existieren müssen, was auch die vielen verschiedenen Beweisideen der letzten Jahrzehnte erklärt.

Man vermutet, dass sich hinter der Riemannschen Vermutung eine fundamentale Theorie verbirgt, sodass die Lösung dieses Milennium-Problems einen sehr großen Fortschritt in der Mathematik mit sich bringen würde. Das ist die Hauptmotivation vieler Mathematiker die auch heute noch (162 Jahre nach der Veröffentlichung der bahnbrechenden Arbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe“ von Bernhard Riemann welche auch die Riemannvermutung erstmals beschreibt) vollständigen Beweis arbeiten.


Quellen

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