Primzahlzwillinge

Als Primzahlzwillinge werden Paare aus Primzahlen mit der Differenz von 2 bezeichnet. Das kleinste Paar Primzahlzwillinge ist (3, 5).

Definition

Primzahlzwillinge sind alle Paare (p₁, p₂) aus zwei Primzahlen mit einer Differenz von 2.

p₂ = p₁+2.

Eigenschaften

Mit Ausnahme des kleinsten Primzahlzwillings (3, 5) sind alle Zwillingspaare von der Form:

p₁ = 6n - 1 mit n ∈ ℕ

p₂ = 6n +1 mit n ∈ ℕ

Die Zahl zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings ist folglich ein vielfaches der Zahl 6.

Alle Primzahlen p, die zu keinem Zwilling, werden isolierten Primzahlen genannt. Somit sind p – 2 uns p + 2 keine Primzahlen. Zu ihnen gehören zum Beispiel die Primzahlen: 23, 37 und 47.

Das größte gegenwärtig bekannte Paar Primzahlzwillinge ist: (2.996.863.034.895 · 2^1.290.000 – 1, 2.996.863.034.895 · 2^1.290.000 +1) . Da dies eine etwas größere Zahl ist: die Zahl hat 388.342 Ziffern. Errechnet wurde dieses Paar im Rahmen des Volunteer-Computing-Projekt PrimeGrid.

Das finden solch großer Primzahlen ist kompliziert, weshalb sie von Computern berechnet werden.

Weitere Primzahlpaare

Primzahldrillinge:

Primzahldrillinge bezeichnen Tripel aus Primzahlen (p₁, p₂, p₃), hierbei sind die Primzahlen nur um eine Differenz von zwei von der nächsten entfernt.

p₂ = p₁+2

p₃ = p₂+2 = p₁+4

(p₁, p₁+2, p₁+4)

Das kleinste Tripel Primzahldrillinge ist (3, 5, 7).

Primzahlvierlinge:

Primzahlvierlinge werden Paare aus zwei Primzahlzwillingen genannt (p₁, p₂, p₃, p₄), dabei beträgt die Differenz zwischen den beiden Zwillingspaaren vier.

p₂ = p₁+2

p₃ = p₂+4 = p₁+6

p₄ = p₃+2 = p₂+6 = p₁+8

((p₁, p₁+2), (p₁+6, p₁+8))

Das kleinste Paar Primzahlvierlinge ist (5, 7, 11, 13).

Die Auflistung lässt sich weiterführen mit Fünflingen, Sechslingen, usw. Dies folgen alle dem selben Schema.

Die oben genannten Paare gehören zu den Primzahltupeln, deren Prinzip auf dem der Primzahlzwillinge beruht. Eine weitere Form dieser Primzahltupel sind die sexy Primzahlen. Hierbei handelt es sich um Primzahlen mit der Differenz von sechs. Die Bezeichnung sexy Primzahlen kommt von der lateinischen Zahl sex – sechs. Alle Priemzahltupel existieren auch als sexy Primzahltupel.

Sexy Primzahlzwllinge sind Paare aus zwei Primzahlen der Differenz sechs (p, p +6), wie zum Beispiel (5, 11).

Sexy Primzahldrillinge sind Tripel von der Form ( p, p +6, p +12). Dazu gehören (7, 13, 19) , (17, 23, 29) usw.

Primzahlcousins:

Als Primzahlcousins werden Paare (p₁, p₂) aus Primzahlen mit der Differenz von 4 bezeichnet.

p₂ = p₁+4

Das kleinste Paar Primzahlcousins ist (3, 7).

Besonderheit: Die sieben ist die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlcousins gehört. Zu dem Paar (3, 7) und dem Paar (7, 11).

Das momentan größte Paar Primzahlcousins (p, p + 4) wurde 2009 von Ken Davis entdeckte und hat 11.594 Stellen.

Im November 2012 wurde von Michael Angel, Paul Jobling und Dirk Augustin größere Primzahlcousins mit 19.629 Stellen gefunden, jedoch ist hier bei eine der beiden Zahlen nicht nachgewiesen ob sie eine Primzahl ist. Diese Zahl besitzt jedoch alle Eigenschaften einer Primzahl, daher wird davon ausgegangen, dass es eine Primzahl ist, auch wenn dies mit keinem bekannten Primzahltest nachzuweisen ist.

Übersicht der Primzahlpaare
Bezeichnung	Form
Primzahlzwilling	(p, p+2)
Primzahldrilling	(p, p+2, p+4)
Primzahlvierling	(p, p+2, p+6, p+8)
Primzahlcousin	(p, p+4)
Sexy Primzahlzwilling	(p, p+6)
Sexy Primzahlzwilling	(p, p+6, p+12)
Sexy Primzahlvierling	(p, p+6, p+12, p+18)

Primzahlvermutung

Die größte Frage bezüglich Primzahlzwillinge, auf die bisher noch keine Antwort gefunden wurde, ist die Frage nach der Endlichkeit der Primzahlzwillinge.

Die Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen im Abstand 2 (Primzahlzwillinge) gibt.

Bewiesen ist, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Zudem kann gezeigt werden, dass je größer die Zahlen werden, desto größer wird auch der Abstand zwischen den Primzahlzwillingen, umso seltener werden sie. Jedoch treten auch größere Primzahlen gebündelt, also als Primzahlzwilling, -drilling usw., auf.

Lösungsversuche zur Primzahlzwillingsvermutung:

1919:

Bei Versuch das Problem der Primzahlzwillinge zu lösen, entstand 1919 die brunsche Konstante. Viggo Brun stellte fest, dass die Summe der Kehrwerte von Primzahlen konvergiert. Der Grenzwert dieser Summe wird brunsche Konstante genannt und meist als B₂ bezeichnet.

[math]B\lt sub\gt 2\lt /sub\gt = (\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+...[/math]

Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)^[1]

B₂ ≈ 1,90216 05832 09 ± 0,00000 00007 81

Der Wert der bunschen Konstante ist nur eine Schätzung, dabei summiert man die Kehrwerte möglichst weit auf und der fehlende Rest wird abgeschätzt. Dies wird zum einen gemacht, weil die Reihe erst sehr langsam konvergiert, was die Berechnung erschwert und zum anderen weil das Finden von großen Primzahlzwillingen so kompliziert ist, dass man nicht mit allen rechnet.

Während die Summe der Kehrwerte alles Primzahlen divergiert, konvergiert also die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge. Hätte der Lösungsansatz zu einem anderen Ergebnis geführt, nämlich dass die Summe divergiert, so wäre dies der Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gewesen. Der Umkehrschluss lässt sich aus der Konvergenz jedoch nicht folgern.

Auch zu Primzahlvierlingen gibt es eine brunsche Konstante, genannt B₄.

[math]B\lt sub\gt 4\lt /sub\gt = (\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+...[/math]

Da alle Primzahlvierlinge aus Primzahlzwillingen bestehen, sind auch alle Summanden aus B₄ in B₂ vorhanden. Somit ist B₄ kleiner als B₂ und ebenso eine konvergente Summe.

2013:

Der Mathematiker Zhang Yitang hat 2013 bewiesen, dass es unendlich viele Primzahl-Paare gibt, deren Differenz höchstens 70 Millionen beträgt. Diese Differenz ist zwar groß, jedoch ist sie auch endlich. Dadurch ist bewiesen, dass der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahl-Paaren nicht beliebig groß ist, sondern dass sich das nächste innerhalb der nächsten 70 Millionen Zahlen beginnt. Damit ist die Primzahlzwillingsvermutung weder bewiesen noch widerlegt, trotzdem ist es eine Basis um weitere Vermutungen aufzustellen und Beweise zu konstruieren.

Es gibt zahlreiche weitere Vermutungen über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge, jedoch basieren diese zumeist auf unbewiesenen Vermutungen, weshalb dies keine stichhaltigen Beweise sind.

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