Banach-Tarski-Paradox

Das Banach-Tarski-Paradoxon (eng. Banach-Tarski-Paradox) oder auch Satz von Banach und Tarski ist ein Satz aus der geometrische Mengenlehre, welcher die Grenzen des anschaulichen Volumenbegriffs deutlich macht. Nach dem Satz gegeben eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen, existiert eine Zerlgung der Kugel in endlich viele disjunkte Teilmengen bzw. Teilen, sodass sich aus den Teilen zwei Kugeln des selben Radius als die ursprüngliche Kugel konstruieren lassen. Dadurch verdoppelt sich das Volumen unersichtlich (denn eine Kugel wurde in zwei genauso große zerteilt). Dieses Paradoxon veranschaulicht somit, dass das mathematische Modell des Raumes in der Mathematik die Realität nicht an allen Eigenschaften wiederspiegelt.

Im Gegensatz zu vielen anderen Sätzen aus der Geometrie ist der Banch-Tarski Satz ziemlich abhängig von der Wahl der Axiomen. Das Axiom der Wahl (eng. Axiom of Choice) erlaubt für einen Beweis, da überabzählbar viele Wähle getroffen werden müssen. Eine andere Auswahl an Axiomen gibt es aber, sodass eine solche Zerlegung und Rekonstruktion der Kugel nicht möglich sind.