Magische Quadrate

Definition

Ein magisches Quadrat der Ordnung n beschreibt eine n×n Matrix, in welcher paarweise verschiedene ganze Zahlen, häufig 1,..., [math]n^2 [/math], so angeordnet sind, dass die Summe der Zeilen- und Spalteneinträgen dem gleichen Wert entspricht. Diesen nennt man die magischen Summe. Die summierten Einträge der Hauptdiagonalen sind ebenfalls gleich der magischen Summe. Man spricht von einem semimagischen Quadrat, falls die Hauptdiagonalen nicht der magischen Summe entsprechen.
Für die Einträge [math] 1,.., n^2 [/math] entspricht die magische Summe [math] s^* = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n^2} k[/math].

weitere Unterteilung magischer Quadrate??

Es gibt magische Quadrate, welche weitere besondere Eigenschaften besitzen. Um diese hervorzuheben existieren weitere Bezeichnung, die besondere Eigenschaften von magischen Quadraten benennen???. Zu diesen gehören

Pandiagonale magische Quadrate

Pandiagonale magische oder auch panmagische Quadrate erfüllen die zusätzliche Eigenschaft, dass die Summe der erweiterten Nebendiagonalen ebenfalls der magischen Summe entsprechen. Panmagische Quadrate sind gerader durch vier teilbarer Ordnung oder ungerader durch fünf teilbarer Ordnung. Somit ist ein pandiagonales magisches Quadrat mindestens von Ordnung vier.

Beispiel

[math] \begin{bmatrix} 25 & 64 & 2 & 39 \\ 8 & 33 & 31 & 58 \\ 63 & 26 & 40 & 1 \\ 34 & 7 & 57 & 32 \\ \end{bmatrix} [/math] Es gilt [math] s^*= 25+33+40+32 = 130 [/math]
[math]8+26+57+39=130 [/math]

[math] 63+7+2+58=130[/math]

[math] 64+31+1+34=130[/math]

[math]8+64+57+1=130 [/math]

[math]63+33+2+32=130 [/math]

[math]7+40+58+25=130 [/math]

Symmetrische magische Quadrate

Man spricht von symmetrisch magischen Quadraten, falls Einträge die um den Mittelpunkt zueinander punktsymmetrisch sind summiert denselben Wert ergeben. Ist das Quadrat mit den den Werten [math] 1,...,n^2[/math] gefüllt, so entspricht diese Summe [math] n^2+1[/math].

Beispeil 1

[math] \begin{bmatrix} 8 & 3 &4 \\ 1 & 5 & 9\\ 6 & 7 & 2 \\ \end{bmatrix} [/math] Es gilt [math]8+2=3+7=4+6=1+9=10 = 3^2+1 [/math]

Beispiel 2

[math] \begin{bmatrix} 16 & 2 &3 & 13 \\ 5 & 11 & 10 & 8\\ 9 & 7 & 6 & 12 \\ 4 & 14 & 15 & 1 \end{bmatrix} [/math] Es gilt [math]16+1=11+6=13+4=7+10=17 = 4^2+1 [/math]

Gerahmte magische Quadrate

Ein gerahmtes magisches Quadrat der Ordnung n umschließt ein magisches Quadrate der Ordnung n-2. Das heißt, wenn man die äußeren Spalten und Zeilen entfernt erfüllt das restliche Quadrat noch immer die Eigenschaften eines magischen Quadrats.

Beispiel

[math] \begin{bmatrix} 20& 1& 21 & 19&4 \\ 2& 14 & 15 &10 &24\\ 3& 9 & 13 & 17& 23\\ 18& 16 & 11 &12 &8\\ 22& 25&5&7&6 \end{bmatrix} [/math] ist ein magisches Quadrat der Ordnung 5 [math] \begin{bmatrix} 14 & 15 & 10\\ 9& 13 & 17\\ 16& 11 &12 \\ \end{bmatrix} [/math] ist ein magisches Quadrat der Ordnung 3

Supermagische Quadrate

Ein magisches Quadrat mit den Einträgen [math] 1,...,n^2[/math] heißt supermagisches Quadrat, falls es folgende Eigenschaften erfüllt

1. alle [math] 2 \times 2 -[/math]Teilquadrate haben dieselbe Summe [math] s_{2 \times 2}=2(n^2+1)[/math]
2. das Quadrat hat die Ordnung [math] n=4k [/math] mit [math] k \in \mathbb{N} [/math]
3. summiert man zwei Elemente einer Diagonale, die den Abstand n/2 haben so ist dieser Wert stets gleich [math]d=n^2+1 [/math]

Beispiel

[math] \begin{bmatrix} 1&15&&10&8\\ 12&6&3&13\\ 7&9&16&2\\ 14&4&5&11 \end{bmatrix} [/math]

1. [math]1+15+12+6=10+8+3+13=7+9+14+4=16+2+5+11=15+10+6+3=9+16+4+5=6+3+9+16=2(4^2+1)=34[/math]
2. das Quadrat hat die Ordnung 4
3. [math]1+16=8+9=11+6=14+3=12+5=15+2=7+10=4^2+1=17[/math]

magische Quadrate niedriger Ordnung

magische Quadrate 1-ter Ordnung

Magische Quadrate erster Ordnung besitzen nur einen Eintrag und sind somit trivial, da jeden 1×1-Matrix die Eigenschaft eines magischen Quadrates erfüllt.

magisches Quadrat 1-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} [/math] mit [math]a \in \mathbb{Z} [/math]

magische Quadrate 2-ter Ordnung

Nach der oben aufgeführten Definition von magischen existieren keine magischen Quadrate zweiter Ordnung. Vernachlässigt man die Bedingung der paarweise verschiedenen Einträge haben magische bzw. semimagische Quadrate folgende Form

magisches Quadrat 2-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a & a \\ a & a \\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a \in \mathbb{Z} [/math]

semimagisches Quadrat 2-ter Ordnung [math] \begin{bmatrix} a & b \\ b & a\\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a, b \in \mathbb{Z} [/math]

magische Quadrate 3-ter Ordnung

Um den Aufbau eines magisches Quadrats dritter Ordnung zu verdeutlichen betrachten wir folgende Matrix

A= [math] \begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e & f\\ g & h & i \\ \end{bmatrix} [/math] mit [math]a, b,...,i \in \mathbb{Z} [/math]

Sei [math]s^* \in \mathbb{Z}[/math] die magische Summe so muss A folgende Eigenschaft erfüllen:

[math]s^* - e = a + i = b + h = c + g = f + d [/math] < br/> Daraus lässt sich folgern, dass [math]a + b + ... + h + i = 4* (s^*-e)+e [/math] gilt. Darüber hinaus gilt [math] a+b+...+h+i= 3s^*[/math] daraus folgt [math] s^* = 3e[/math]

Mit diesen zusätzlichen Vorraussetzungen lassen sich magische Quadrate der Ordnung 3 für die Zahlen 1,...,9 leicht konstruieren. Die magische Summe ergibt sich aus [math] s^* = \frac{1}{3} \sum\limits_{k=1}^{9} k = 15[/math] somit gilt [math]r=5 [/math] und [math] 10 = a + i = b + h = c + g = f + d[/math]. Es gilt [math] 10 = 1+9 = 2+8 = 3 + 7= 4+6[/math]. Nehmen wir nun a=1 an, so erhalten wir [math]14 = b+c = d+g [/math] und [math] 6 = f+c =h+g[/math]. Da es je nur ein Paar gibt, welches gleich 14 bzw. gleich 5 ist folgt, dass die Werte 1 und 9 nicht in einer der Ecken liegen können. Des Weiteren ist 1 stets von 6 und 8 umgeben und 9 stets von 2 und 4. Daraus ergeben sich folgende mögliche magische Quadrate:

[math] \begin{bmatrix} 6 & 1 &8 \\ 7 & 5 & 3\\ 2 & 9 & 4 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 8 & 1 &6 \\ 3 & 5 & 7\\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 2 & 7 &6 \\ 9 & 5 & 1\\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 4 & 3 &8 \\ 9 & 5 & 1\\ 2 & 7 & 6 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 2 & 9 &4 \\ 7 & 5 & 3\\ 6 & 1 & 8 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 4 & 9 &2 \\ 3 & 5 & 7\\ 8 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} [/math]

[math] \begin{bmatrix} 6 & 7 &2 \\ 1 & 5 & 9\\ 8 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} [/math] beziehungsweise durch Spiegelung [math] \begin{bmatrix} 8 & 3 &4 \\ 1 & 5 & 9\\ 6 & 7 & 2 \\ \end{bmatrix} [/math]

Hierbei handelt es sich genau genommen nur um ein magisches Quadrat, welches lediglich gespiegelt und/oder rotiert wird.

Weblinks

https://www.magic-squares.info/

Einzelnachweise/Literaturverzeichnis

Beck, Matthias; Robins, Sinai: Das Kontinuum diskret berechnen. Kapitel 6.
Sesiano, Jacques: Magic Squares-Their History and Construction from Ancient Times to AD 1600.

AutorInnen

Julia Renner
Joanna Schnorr
Julia Bohn

Vorlage

Überschrift 1

Überschrift 2

Hier kann man ganz normal schreiben :)

[math] \text{hier müsste es wie in der Latex equation-Funktion Formeln schreiben können } x \in \mathbb{N} : x \in \mathbb{R} [/math]

1. nummerierte Aufzählungen
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      1. usw.

• Aufzählung mit Punkt
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