Riemannsche Vermutung

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Die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese besagt, dass alle nicht trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta Funktion einen Realteil von genau [math]\frac{1}{2}[/math] haben. Sie wurde 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe formuliert und gilt als ein bedeutendes ungelöstes Problem der Mathematik. Sie ist von besonderem Interesse für die Zahlentheorie, da sie eng mit der statistischen Verteilung der Primzahlen zusammenhängt.

Sie wurde im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt, und im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen.

Einführung

Die Untersuchung der Primzahlen steht im Zentrum der Zahlentheorie. Ein detailliertes Verständnis ihrer scheint jedoch unerreichbar fern. Eine Möglichkeit die Primzahlen besser zu verstehen, ist jedoch ihre statische Verteilung zu untersuchen. Dabei stellt sich unter anderem die Frage, wie viele Primzahlen unter einer gegebenen natürlichen Zahl existieren. Diese Frage kann mathematisch mit Hilfe der Primzahlfunktion dargestellt werden.

Riemann gelang es für diese Funktion einen analytischen Ausdruck zu finden. Da dieser jedoch nur mit sehr viel Aufwand berechnet werden kann eignen sich numerische Methoden zum berechnen von Primzahlen mehr. Der Ausdruck ist jedoch von theoretischem Interesse, da mit ihm Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gemacht werden können.

In Riemanns explizitem Ausdruck der Primzahlfunktion taucht eine Summe über die Nullstellen der Riemannschen Zeta Funktion auf. Diese besitzt so genannte "triviale" Nullstellen bei jeder negative gerade Zahl. Es gibt jedoch noch unendlich viele weitere Nullstellen der Zeta Funktion welche "nicht-triviale" Nullstellen genannt werden.

Die Riemann Hypothese besagt nun, dass der Realteil aller nicht triviale Nullstellen der Riemann Zeta Funktion [math]\frac{1}{2}[/math] beträgt.

Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu verifizieren. Da es jedoch unendlich viele Nullstellen gibt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden.

Riemannsche Zeta - Funktion

Dirichlet-Reihen

Die Riemann'sche Zeta-Funktion [math] \zeta (s) [/math] ist eine komplexwertige Funktion. Häufig wird sie für [math]\text{Re}(s)[/math] über eine Dirichlet-Reihe definiert, nämlich

[math]\displaystyle \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} [/math]

Eine Dirichlet-Reihe ist allgemein definiert als

[math]\displaystyle F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}[/math]

mit [math]s \in \mathbb{C}[/math], die Zeta Funktion entspricht also der Dirichlet Reihe mit [math]f(n) = 1[/math].

[math] \zeta (1)[/math] entspricht hierbei der bekannten harmonischen Reihe, darum ist es wenig verwunderlich, dass die Dirichlet-Reihe bei [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math] konvergiert, während dies für [math] \text{Re}(s) \leq 1 [/math]im Allgemeinen nicht der Fall ist. Deshalb charakterisiert die Dirichlet-Reihe die Zeta-Funktion nur für [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math].

Euler-Produkt

Das Euler-Produkt einer Dirichlet-Reihe [math] F(s) [/math] ist allgemein

[math]\displaystyle F(s) = \prod _{p ~\text{prim}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{f(p^k)}{p^{ks}} [/math].

Im Fall [math] f(s) = 1 [/math] ist dies gleich der Zeta-Funktion, und es gilt

[math]\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p ~\text{prim}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{p^{ks}}[/math].

Da jede Summe eine geometrische Reihe mit Quotient [math] p^{-s} [/math] bildet, folgt

[math]\displaystyle \zeta (s) = \prod _{p \text{ prim}} \frac{1}{1- \frac{1}{p^s}} [/math].


Ein schöner Beweis der Gleichheit dieser Darstellung mittels Siebtechnik ist in [3] zu sehen.

Auch diese äquivalente Beschreibung der Riemannschen Zeta-Funktion gilt nur für [math]\text{Re}(s) \gt 1 [/math].


Analytische Fortsetzung

Eine komplexe Funktion, die an jedem Punkt einer zusammenhängenden offenen Menge [math]U[/math] komplex differenzierbar ist, heißt holomorph in [math]U[/math]. Ist eine holomorphen Funktion [math]f[/math] nur auf einer Teilmenge einer Obermenge definiert, so existiert höchstens eine Funktion [math]f^*[/math], welche auf der Teilmenge mit [math]f[/math] übereinstimmt und in der Obermenge holomorph ist. Diese nennt man die analytische Fortsetzung von [math]f[/math]. Die Riemannschen Zeta-Funktion lässt sich eindeutig auf ganz [math]\mathbb{C}[/math] fortsetzen, mit einer Definitionslücke bei [math]s = 1[/math].

Um die erweiterte Form einmal gesehen zu haben, hier ist eine Darstellung, mit der Gamma Funktion [math]\Gamma [/math] und den Bernoullizahlen [math]B_n[/math], für welche wir auf entsprechende Wikipedia Artikel verweisen wollen: [math]\displaystyle \zeta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)} \left( \frac{1}{s-1} \frac{1}{2s} \sum_{n=2}^\infty \frac{B_n}{n!} \frac{1}{s + n -1} + \int_1 ^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \right) [/math]

Eine Herleitung und weiterführende Informationen sind aber zum Beispiel in [1] gegeben und eine graphische Anschauung in [2].

Nullstellen der Zeta-Funktion

Von besonderem Interesse sind die Nullstellen der Zeta-Funktion. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf -2, -4, -6 usw. Diese ergeben sich, da die Gamma-Funktion bei allen negativen ganzen Zahlen Polstellen hat, wobei [math]\frac{1}{\Gamma (s)}[/math] dort eine Nullstelle hat, für ungerade Werte werden diese jedoch durch Polstellen des Klammemerausdrucks "weggehoben". Die Position der nicht trivialen Nullstellen zu bestimmen ist eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik. Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht trivialen Nullstellen den Realteil [math]\frac{1}{2}[/math] haben, was bisher weder bestätigt noch widerlegt werden konnte.


Zusammenhang mit Primzahlen

Primzahlsatz: [math][/math] [math]\displaystyle \lim _{{x\to \infty }}{\frac {\pi (x)}{{\frac {x}{\ln(x)}}}}=1[/math], also [math]\displaystyle \pi (x) \sim \frac{x}{\ln {x}} [/math] (sie sind "asymptotisch äquivalent, bzw. werden prozentual immer genauer).

Dies entspricht wohl im Großen und Ganzen, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen [math] s [/math] mit [math]\operatorname{Re}(s) \ge 1 [/math] hat. (die trivialen sind alle negativ und die nicht-trivialen haben laut Riemannscher Vermutung alle den Imaginärteil 1/2).


[math]\displaystyle \mathrm{Li}(x):=\int _{2}^{x}{\frac { \mathrm{d}t }{\ln {t}} } [/math] ist eine bessere Approximation als [math] \frac{x}{\ln {x}} [/math].


Primzahlfunktion: [math]{\displaystyle \pi (x):=\left|\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}\right|}[/math] also der Anzahl der Primzahlen [math]\le x[/math].

Wäre eine analytische Funktionsgleichung der Primzahlfunktion bekannt, wäre die genaue Verteilung der Primzahlen bekannt, und ob eine Zahl eine Primzahl ist, könnte einfach abgelesen werden. Diese analytische Form zu finden, ist das Ziel der ganzen folgenden Gleichungen und Umformungen. (Letztendlich wird eine Formel gefunden, in die aber alle (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen).

[Ein Bild der Stufenfunktion [math]\pi(x)[/math] sollte hier irgendwo dazu]

Zetafunktion: [math]\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}[/math]

Die Zetafunktion hängt direkt mit den Primzahlen zusammen: [math]\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}[/math]

Diese zweite Form der Zetafunktion (mit dem Produkt) lässt sich umwandeln in eine Formel für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] :

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-ns}}{n}}}[/math]

Um weiterzukommen wird zunächst folgende Funktion "willkürlich" definiert (eigentlich ist sie genau so definiert, dass sie die richtige Form hat, um sie später benutzen zu können):

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{n}\lt x}{\frac {1}{n}}=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Theta (x-p^{n})}{n}}}[/math] [hier kann vielleicht die zweite Form ganz weggelassen werden, wenn es mathematisch nicht so genau beschrieben wird und dann gar nicht mehr vorkommt]

Mithilfe dieser Funktion lässt sich [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in Integralform schreiben:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int \limits _{0}^{\infty }x^{-s-1}\Pi (x)\mathrm {d} x}[/math]

Dieser Ausdruck lässt sich über eine inverse Mellin-Transformation "umkehren" zu:

[math]{\displaystyle \Pi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s}[/math] (mit einem [math] c\gt 1 [/math])

Produktdarstellung der Riemannschen Xi-Funktion, wobei [math]\rho[/math] die (unendlich vielen) nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion sind:

[math]{\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}[/math] [Übrigens entspricht die Riemannsche Vermutung genau der Aussage, dass alle Nullstellen von [math]{\displaystyle \Xi (t)=\xi ({\textstyle {\frac {1}{2}}+it})}[/math] reell sind]

Hieraus lässt sich eine zweite Form für [math]\ln {\zeta(s)}[/math] formulieren:

[math]{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum _{\rho }\ln \left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)-\ln 2-\ln \Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)+{\frac {s}{2}}\ln \pi -\ln(s-1)}[/math]

Indem man [math]\ln {\zeta(s)}[/math] in der obigen Gleichung [math]\Pi (x)[/math] substituiert (was wohl mathematisch sehr anspruchsvoll ist), erhält man eine Formel für [math]\Pi (x)[/math], in die "einfach" die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion eingesetzt werden müssen:

[math]{\displaystyle \Pi (x)=\mathrm {Li} (x)-\sum _{\rho }\mathrm {Li} (x^{\rho })-\ln 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\ln t}}}[/math]

Über die Möbius-Inversion lässt sich folgender Zusammenhang zwischen [math]\pi (x)[/math] und [math]\Pi (x)[/math] herleiten (mit der Möbiusfunktion [math]\mu (n)[/math]) : [Wikipedialink zur Möbius-Funktion]

[math] {\displaystyle {\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})}} [/math]

Benutzt man hier nun für [math]\Pi (x)[/math] den Ausdruck mit den nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion, hat man eine analytische Darstellung der Primzahlfunktion [math]\pi (x)[/math] hergeleitet, was ursprünglich das Ziel des Ganzen war. Das Problem liegt ab hier also im Finden und in der Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion. Genau daher kommt auch die Relevanz der Riemannschen Vermutung für die Verteilung der Primzahlen.

Bedeutung in der Wissenschaft

Es gibt sowohl eine Vielzahl von wichtigen Theoremen und Aussagen die aus der Riemannschen Vermutung folgen bzw. nur unter der Annahme, dass diese der Wahrheit entspricht gezeigt werden konnten, als auch einige für die gezeigt werden konnte, dass sie equivalent zu dieser sind. Das bedeutet natürlich, dass einzig die Lösung des Riemannschen Problems Licht in viele verschiedene Bereiche der Mathematik und auch der Physik bringen würde. Dazu nun einige konkrete Beispiele, wie die Riemannsche Vermutung mit aktuellen Forschungsgebieten und Anwendugnsfällen verknüpft ist:

  • Aus der Riemannschen Vermutung folgt eine sehr scharfe Restgliedabschätzung im Primzahlensatz der Form: [math]\pi(x) = \mathrm{Li}\,x+\mathcal{O}(\sqrt x\cdot\log x)[/math] Als eine Folge davon ließen sich schnelle Primzahlentests entwickeln welche wiederum essentiell sind in der modernen Kryptographie (RSA – Verfahren…?)
  • In den 1970er Jahren entdeckte Hugh Montgomery, dass die Verteilung der Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen eine ähnliche Verteilung wie die Eigenwerte hermitescher Zufallsmatrizen (vgl. dazu auch den außerordentlich gelungenen Artikel Zufallsmatrizen - Bohemians und die geheimnisvolle Ordnung im Chaos) zeigt. Insgesamt ist also klar, dass tiefe Verbindungen zwischen der Riemannschen Vermutung und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Physik existieren müssen, was auch die vielen verschiedenen Beweisideen der letzten Jahrzehnte erklärt.
  • Wird die Riemannsche Vermutung als korrekt vorausgesetzt, so kann gezeigt werde, dass sich die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl statistisch zufällig verhält. Ob eine Zahl sich also in gerade oder ungerade viele Primfaktoren zerlegen lässt, entspricht dann also genau der Wahrscheinlichkeit, ob bei einem Münzwurf Kopf oder Zahl rauskommt. Dieses statistische Verhalten würde natürlich in der Zahlentheorie eine sehr große Bedeutung bekommen.
  • Goldbachsche Vermutung...

Man vermutet, dass sich hinter der Riemannschen Vermutung eine fundamentale Theorie verbirgt, sodass die Lösung dieses Milennium-Problems einen sehr großen Fortschritt in der Mathematik (Besonders im Verständnis der Zahlentheorie) mit sich bringen würde. Das ist die Hauptmotivation vieler Mathematiker die auch heute noch (162 Jahre nach der Veröffentlichung der bahnbrechenden Arbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe“ von Bernhard Riemann welche auch die Riemannvermutung erstmals beschreibt) an rigorosen Beweisen arbeiten.


Argumente für und gegen die Korrektheit der Riemannschen Vermutung

Abschließend stellt sich nun natürlich die Frage, ob die Riemannsche Vermutung denn nun korrekt ist oder nicht. Auf jeden Fall ist heutzutage die vorherrschende Wissenschaftliche Ansicht, dass Bernhard Riemann mit seiner Vermutung recht hatte. Dies mag vor allem daran liegen, dass bereits die ersten 10 Billionen (jep, 10 000 000 000 000 ist die Zahl) trivialen Nullstellen durch Superrechner überprüft wurden und mit der Behauptung übereinstimmen, aber auch daran, dass es schon viele Theoreme gab, die zuerst nur mit der Annahme der Korrektheit der Riemannschen Vermutung gezeigt werden konnten, sich später jedoch auch unabhängig von dieser als korrekt heraus stellten. Die Riemannsche Vermutung passt also sehr gut in die gegenwärtige Mathematische Theorie, mehr noch, ein Widerlegen der Hypothese würde das jetzige Verständnis vieler noch nicht vollständig gelöster Probleme komplett durcheinanderbringen und zum Umdenken zwingen. Dennoch kann ohne einem vollständigen Beweis natürlich nicht einfach davon ausgegangen werden, dass eine Annahme korrekt ist. Alleine, dass einige der begnatetsten (gibt es da vielleicht ein besseres Wort?????????) Mathematiker die es je gab wie z.B. Alan Turing dachten, dass die Vermutung nicht stimmen würde, lässt einem zu denken übrig (Eine der ersten Dinge, die Turing mit seinem ersten Modell eines Computers berechnete, waren Nullstellen der Zeta-funktion um eine zu finden die nicht mit der Behauptung übereinstimmt). Aber auch die billionen von bereits verifizierten Nullstellen könnten einen nur in die Irre leiten. So tritt z.B. das erste Gegenbeispiel eines möglichen ähnlichen Theorems (siehe Skewes number) erst in einer Größenordnung von 10316 auf. Mit anderen Worten kann es also sein, dass das eigentlich charakteristische Verhalten der Zeta-Funktion erst bei unerreichbar großen Werten eintritt wodurch die ersten 10 Billionen Nullstellen entscheidend an Wichtigkeit verliern würden.

Quellen

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