Hilberts Hotel

0 Einführung

Hilberts Hotel ist ein Gedankenexperiment zur Veranschaulichung von Unendlichkeiten. Es wurde vom Deutschen Mathematiker David Hilbert entwickelt.

1 Mathematisches Vorwissen/Hintergrund

Eine Bijektion ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N, die jedem Element m aus M [math]( m \in M )[/math] genau ein Element n aus N [math]( n \in N )[/math] zuordnet.

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

[math] \mid \text{ } M\mid = \mid N\mid \Leftrightarrow \exists \text{ } f: M \to N[/math], so dass f bijektiv

Eine Menge M heißt abzählbar, wenn sie Gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen [math] \mathbb{N}[/math] ist.

[math] M \text{ abzählbar} \Leftrightarrow \mid M\mid = \mid \mathbb{N} \text{ } \mid [/math]

Eine Menge M heißt unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer echten Teilmenge von sich selbst ist.

[math] M \text{ unendlich} \Leftrightarrow \mid M\mid = \mid L\mid, L \subset M [/math]