Mandelbrotmenge

Informationen zur Mandelbrotmenge folgen.

Julia-Menge

Hintergrund Mansur

Hallo

Grundlegende Eigenschaften Selin

Symmetrie Für die Julia-Menge [math] J(f_c)[/math] von [math]f_{n+1}(z)=z_n^2+c[/math] gilt:

1. [math] J(f_c)[/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung: [math]z \in\ J(f_c) ⇔ -z \in\ J(f_c)[/math]

Beweis. [math] f_{n+1}(-z)=(-z)^2+c=f_{n+1}(z) , (f_{n+1})^k(-z)=(f_{n+1})^{n-1}(f_{n+1}(-z))=(f_{n+1})^{n-1} (f_{n+1}(z))=(f_{n+1})^k(z)[/math]

2. [math] J(f_c)[/math] und [math]J(f_\overline c \[/math] liegen symmetrisch zur imaginären Achse.

Chaos

Sei [math] f[/math] ein Polynom vom Grad ≥ 2 mit der Julia-Menge J. Dann ist [math] f[/math] auf der Julia-Menge chaotisch

Bereits kleine Änderungen von z führen zu anderem Verhalten.

Mandelbrot-Menge

Definition über die Julia-Mengen Danielle

Die Mandelbrotmenge wurde zur Klassifizierung der Julia-Mengen definiert. Sie umfasst die Teilmenge der komplexen Zahlen, für welche die Julia Menge zusammenhängend ist. Die Mandelbrotmenge lässt sich rekursiv, wie folgt definieren:

[math] z_{n+1}=z_n^2+c [/math] mit [math]z_0 = 0 [/math]

Um nun für bestimmte Werte [math]c\in\mathbb{C}[/math] zu bestimmen, ob sie in der Mandelbrotmenge enthalten sind. Führt man [math]n\in\mathbb{N}[/math] Iterationen durch, wenn gilt: [math]\mid f^n_c(0)\mid \gt 2[/math], so färbt man den entsprechenden Punkt weiß, er liegt also nicht in [math]M[/math]. Ansonsten färbt ammchwarz. Je größer [math]n[/math] gewählt wird, desto genauer wird das Bild, dass man erhält. In der Mathematik sind theoretisch beliebige Genauigkeiten möglich, dies führt zu den faszinierenden graphischen Darstellungen der Mandelbrotmenge, wenn man weiter reinzoomt.

Abhängig von der Definition der Juliamenge lässt sich die Mandelbrotmenge, wie folgt definieren:

[math]M=\{c\in \mathbb{C}\mid J_c \text{ ist zusammenhängend}\}[/math]

Weitere Definitionen der Mengen sind:

[math] M=\{c\in\mathbb{C}\mid f^n_c(0)\not\to\infty\text{, wenn } n\to \infty\}=\{c\in\mathbb{C}\mid (z_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ ist beschränkt}\}[/math]

Diese Darstellungen lassen sich mithilfe der oberen Definition beweisen.

Grundlegende Eigenschaften Danielle

Grenzverhalten ausgewählter Funktionen

Für verschiedene Punkte [math]c\in\mathbb{C}[/math] lassen sich vier verschiedene Grenzverhalten beobachten:

• Konvergenz gegen einen Punkt
• Die Glieder bilden einen Zyklus mit zwei oder mehr Werten
• chaotisches aber beschränktes Verhalten der Glieder
• Divergenz gegen unendlich

Ein Punkt [math]c\in\mathbb{C}[/math] ist in [math]M[/math] falls er eines der ertsen drei Grenzverhalten aufzeigt.

Betrachten wir das Grenzverhalten der Funktion [math]z_{n+1}=z_n^2+c[/math]

Parameter (c)	Folgeglieder (z_2, z_3, z_4,...)	Grenzverhalten	Ist c in M?
1	2, 5, 26,...	bestimmte Divergenz gegen [math]\infty[/math]	[math]1\notin M[/math]
0	0, 0, 0,...	Konvergenz gegen 0	[math]0\in M[/math]
-1	0, -1, 0,...	Zweierzyklus	[math]-1\in M[/math]
i	-1+i, -i, -1+i,...	Zweierzyklus	[math]i\in M[/math]
-1,5	0,75, [math] -\frac{15}{16}[/math], [math] -\frac{159}{256}[/math],...	Chaos (beschränkt)	[math]-1,5\in M[/math]
-2	2, 2, 2,...	Konvergenz gegen 2	[math]2\in M[/math]
0,25	[math] \frac{5}{16}[/math], [math] \frac{89}{256}[/math], [math] \frac{24305}{65536}[/math],...	KOnvergenz gegen 0,5	[math]0,25\in M[/math]

M ist kompakt

Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen, da ihr Komplement offen ist. Außerdem liegt sie innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit Radius 2, daraus folgt Beschränktheit.

[math]M\subset B_2(0)\subset \mathbb{C}[/math]

Nach dem Satz von Heine-Borel folgt somit Kompaktheit.

M ist spiegelsymmetrisch zur reelen Achse

Diese Tatsache lässt sich leicht anhand der Bilder erkennen. Doch auch bei Betrachtung der mathematischen Grundlagen kann dieser Umstand leicht gezeigt werden. Wir wollen also zeigen, dass wenn [math]a+bi=c_1\in M[/math] ist, auch [math]a-bi=\overline c_1 \in M[/math] ist.

Betrachten wir die Entwicklung der rekursiven Gleichung mit [math]c_1[/math] und [math]\overline c_1[/math]

[math]z_{n+1}[/math]	[math]z_{n}+c_1[/math]	[math]z_{n}+\overline c_1[/math]
z_1	[math]0+a+bi[/math]	[math]0+a-bi[/math]
z_2	[math](a+bi)^2+a+bi=(a^2-b^2+a)+i(b+2ab)[/math]	[math](a-bi)^2+a-bi=(a^2-b^2+a)-i(b+2ab)[/math]
z_n	[math] Re(z_n)+i*Im(z_n)[/math]	[math] Re(z_n)-i*Im(z_n)[/math]

Wir sehen hier, dass [math]z_n+c_1=\overline {z_n+\overline c_1}[/math]. Die Beträge sind also identisch und Realteil und Imaginärteil entsprechen einander. Daraus lässt sich folgern, wenn ein Werte nicht gegen unendlich divergiert, so auch nicht sein komplex konjugierter Wert. Somit ergibt sich, wenn [math]a+bi=c_1\in M\rightarrow a-bi=\overline c_1 \in M[/math]. Also entsteht ein achsensymmetrisches Bild.

M ist zusammenhängend

Diese Tatsache wurde 1984 von Adrien Douady und John Hamal Hubbard bewiesen. Ob sie auch lokal zusammenhängend ist, ist noch eine offene Frage.

Graphische Darstellung Hannah

Es gibt verschiedene farbliche Visualisierungen der Mandelbrotmenge, aber nach Konvention sind alle Punkte, die zur Mandelbrotmenge dazugehören, schwarz eingezeichnet, d.h. alle [math]c[/math], für die die Folge [math]z_{n}[/math] beschränkt bleibt. Die sich so ergebende Menge wird auch als »Apfelmännchen« bezeichnet, was sich einem erschließt, wenn man den Kopf um 90 Grad nach links neigt. Bei näherer Betrachtung der Mandelbrotmenge erkennt man, dass sich die Struktur des Apfelmännchens am Rand der Menge in kleinerer Ausführung wiederholt.

Alles, was nicht schwarz eingefärbt ist, gehört nicht zur Mandelbrotmenge. Die verschiedenen Farbbereiche um die Mandelbrotmenge herum geben an, wie schnell die Folge für ein [math]c[/math] in dem jeweiligen Bereich divergiert.

Auf Geogebra hat man die Möglichkeit, sich das Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten der Folge [math]z_{n}[/math] für verschiedene [math]c[/math] darstellen zu lassen. Zudem werden durch Schraffieren auf der komplexen Ebene alle zur Mandelbrotmenge zugehörigen Punkte sichtbar. Allerdings treten bei dem Programm Rundungsfehler auf, z.B. scheint bei Geogebra die Folge für [math]c=i[/math] zu divergieren, obwohl man berechnen kann, dass sie für [math]i[/math] beschränkt bleibt.

Geschichte Hannah

Fraktale waren schon lange vor dem französischen Mathematiker Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) ein untersuchtes Teilgebiet der Mathematik. So veröffentlichte der schwedische Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) seine berühmte Koch-Kurve (auch »Schneeflockenkurve«) bereits 1904 – noch früher, im Jahr 1890, stellte der italienische Mathematiker Guiseppe Peano (1858-1932) die Peano-Kurve vor. Beides sind Beispiele für Fraktale, aber erst 1975 gab Mandelbrot solchen Gebilden schließlich einen Namen (abgeleitet aus dem Lateinischen »fractus« = gebrochen), weshalb er auch »Vater der Fraktale« genannt wird.

1967 befasste er sich mit der Frage, wie man die Länge von Großbritanniens Küste, ebenfalls einem Fraktal, messen könne. Dabei stieß Mandelbrot auf das Problem, unterschiedliche Ergebnisse zu bekommen, je nachdem wie genau er vorging und wie stark er manche feinere Ausbuchtungen bei der Messung vereinfacht nur als glatte Kurve einberechnete.

1980 veröffentlichte er schließlich seine Arbeit über die Mandelbrotmenge, deren Ursprung in den Julia-Mengen liegt, die schon 1905 von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Schon zwei Jahre vor dieser Veröffentlichung gab es erste graphische Darstellungen der Mandelbrotmenge am Computer.