Lemma von Riesz und Folgerungen

Das Lemma von Riesz ist eine bedeutende Aussage eigentlich der Funktionalanalysis. Jedoch kann man mit ein paar grundliegenden Konzepten relativ starke Aussagen über die Beschaffenheit von Vektorräumen sagen. Eine dieser Aussagen wird das Ziel dieses Artikels sein. Das Lemma von Riesz gibt die Grundlage eines Beweises für ein Kriterium über Endlichdimensionalität eines Vektorraumes. Dieses Kriterium wird dementsprechend auch in der Literatur Kompaktheitssatz von Riesz genannt. Um dieses Resultat zu beweisen ist es jedoch notwendig erstmal das Lemma von Riesz einzuführen und zu beweisen.

Motivation

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Das Lemma von Riesz

Das Lemma von Riesz beschreibt eine interessante Eigenschaft in einem normierten Raum [math]\mathbb{X}[/math]. Nämlich ist [math]U[/math] ein abgeschlossener Unterraum von [math]\mathbb{X}[/math] und [math]U \neq \mathbb{X}[/math], dann existiert für [math]\delta \in (0,1)[/math] ein Vektor [math]x_{\delta} \in \mathbb{X}[/math] mit [math]\Vert x_\delta \Vert =1[/math], sodass [math] \Vert x_\delta - u \Vert \geq 1-\delta [/math] für alle [math]u \in U[/math] gilt. Anschaulich heißt das, dass wir für jeden Punkt in dem abgeschlossenen Unterraum [math] U [/math] einen Punkt finden, der mindestens den Abstand [math] 1-\delta [/math] zu diesem besitzt.

Beweis

Wir wählen zuerst [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math]. Dadurch dass [math] U [/math] abgeschlossen ist können wir folgern, dass [math] d:=\inf_{u \in U}\Vert x-u \Vert \gt 0 [/math]. Das folgt aus der Definition der Abgeschlossenheit in einem normierten Raum. Denn gäbe es ein [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math], sodass [math] d=0 [/math], so gäbe es auch eine Folge [math](u_n)_{n\in \mathbb{N}} [/math], sodass [math] \Vert u_n - x \Vert \rightarrow 0 [/math], was implizieren würde, dass [math]x[/math] im Abschluss von [math]U[/math], also [math]\bar{U}[/math] läge. Da [math]U[/math] abgeschlossen ist, gilt [math] U=\bar{U}[/math] und somit [math] x \in U [/math], was ein Widerspruch zur Annahme [math] x \in \mathbb{X}\setminus U [/math] ist.

Weiter gilt, da [math] \delta \in (0,1) [/math], dass [math]d \lt \frac{d}{1-\delta} [/math]. Somit existiert ein [math] u_{\delta} \in U [/math] mit [math] \Vert x-u_{\delta} \Vert \lt \frac{d}{1-\delta} [/math]. Setzen wir also [math] x_{\delta}:= \frac{x-u_\delta}{\Vert x-u_\delta \Vert} [/math], so gilt [math] \Vert x_{\delta} \Vert =1 [/math], was den ersten Teil des Lemmas zeigt.

Für den zweiten Teil sei [math] u \in U [/math] ein beliebiger Punkt. Aufgrund der Konstruktion von [math]x_\delta[/math] gilt die folgende Identität:

[math] \begin{align} \Vert x_{\delta}-u \Vert &= \left\Vert \frac{x}{\Vert x- u_{\delta}\Vert} - \frac{u_{\delta}}{\Vert x- u_{\delta}\Vert}- u\right\Vert \\ &=\frac{1}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \left\Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\right\Vert \end{align} [/math]

Per Konstruktion folgt aber auch, dass [math] u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u \in U [/math] und daher [math] \left\Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\right\Vert \geq d [/math]. Daraus folgt dann aus der obigen Gleichung, dass

[math] \begin{align} \Vert x_{\delta}-u \Vert =\frac{1}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \left\Vert x - (u_{\delta}+\Vert x- u_{\delta}\Vert u)\right\Vert \geq \frac{d}{\Vert x- u_{\delta} \Vert} \end{align} [/math]

und somit [math] \Vert x_{\delta}-u \Vert \gt 1-\delta [/math] aufgrund der Wahl von [math] u_\delta [/math].

Der Kompaktheitssatz von Riesz

Die allgemeine Version des Satzes lässt sich so formulieren:

Ein normierter Vektorraum [math]\mathbb{X}[/math] ist endlichdimensional, genau dann, wenn die abgeschlossene Einheitskugel [math]\mathbb{D}[/math] ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Wir beschränken uns hier jedoch mehr auf den spezifischeren Fall, dass [math]\mathbb{X}[/math] ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum ist. Dadurch lässt sich obiger Satz zu folgender Aussage umformulieren:

Ein [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorraum [math]\mathbb{X}[/math] ist endlichdimensional, genau dann, wenn [math]\mathbb{D}:= \{v \in \mathbb{X} | \Vert v \Vert \leq 1\}[/math] kompakt ist.

Beweis

Sei zunächst [math]\mathbb{X}[/math] endlich dimensional. Wir können den Satz von Heine-Borel einem zentralen Satz der Analysis ausnutzen.Denn [math]\mathbb{D}[/math] ist beschränkt und abgeschlossen und ist somit auch kompakt. Nun zeigen wir die Kontrapostion der Rückrichtung. Sei also [math]\mathbb{X}[/math] unendlichdimensional.Wir konstruieren induktiv eine Folge [math]\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] in [math]\mathbb{D}[/math], welche keine konvergente Teilfolge besitzt. Damit ist [math]\mathbb{D}[/math] nicht folgenkompakt und somit auch nicht kompakt, da in metrischen Räumen (also auch in [math]\mathbb{R}[/math]-Vektorräumen) Folgenkompaktheit äquivalent zu Kompaktheit ist.

Wähle [math]x_1\in\mathbb{X}[/math] beliebig mit [math]\Vert x_1\Vert=1[/math], also insbesondere [math]x\in\mathbb{D}[/math]. Für [math]n\in\mathbb{N}[/math] sei [math]U_n:=\langle x_1,\ldots,x_n\rangle[/math] der Untervektorraum aufgespannt durch [math]\{x_1,\ldots,x_n\}[/math]. Dieser Raum ist nach Konstruktion endlichdimensional, es handelt sich also um einen echten, abgeschlossenen Untervektorraum von [math]\mathbb{X}[/math] und wir können das Lemma von Riesz benutzen.

Sei [math]\delta:=\frac{1}{2}[/math], nach dem riesz'schen Lemma existiert ein [math]x\in\mathbb{X}\setminus U_n[/math] mit [math]d:=\inf_{y\in U_n}|x-y|\geq1-\delta=\frac{1}{2}[/math] mit [math]\Vert x\Vert=1[/math], also insbesondere [math]|x-x_i|\geq d\gt \frac{1}{2}[/math] für [math]i=1,\ldots,n[/math] und [math]x\in\mathbb{D}[/math]. Definiere nun das nächste Folgenglied [math]x_{n+1}:=x[/math].

Wir haben also unsere Folge definiert und wir zeigen, dass diese (in [math]\mathbb{D}[/math]) nicht konvergiert. Seien [math]n,m\in\mathbb{N}[/math] mit [math]n\neq m[/math] und sei somit ohne Einschränkungen [math]n\lt m[/math], dann ist nach Konstruktion [math]x_m\in\mathbb{X}\setminus U_n[/math] und somit [math]|x_m-x_n|\geq\frac{1}{2}[/math]. Also handelt es sich hier um keine Cauchy-Folge und damit insbesondere um eine nicht konvergente Folge.