Cantor-Menge

Geometrische Darstellung

Man konstruiert die Cantormenge rekursiv, indem man vom Intervall [0, 1] das mittlere offene Drittel (1/3, 2/3) entfernt, aus den beiden verbleibenden Intervallen [0, 1/3] und [2/3, 1] jeweils deren mittleren offenen Drittel entfernt und diesen Prozess unendlich fortsetzt.

Folgendes Bild veranschaulicht den Prozess.

Cantorfunktion

Mit Hilfe der Cantormenge kann man rekursiv die sogenannte Cantorfunktion (auch “Teufelstreppe”) definieren. Sei f: [0,1] -> [0,1] mit f(0) = 0 und f(1) = 1. Sei x in [0,1], dann erhalte f(x) durch die folgenden Schritte:

• Drücke x in Basis 3 aus.
• Wenn x eine 1 enthält, ersetze jede Ziffer streng nach der ersten 1 durch 0.
• Ersetze alle verbleibenden 2s durch 1s.
• Interpretiere das Ergebnis als Binärzahl.

Der Graph der Funktion ist durch folgendes Bild veranschaulicht.

f ist monoton steigend und in allen Punkten x  ∈  [0, 1] \ C differenzierbar mit Ableitung gleich 0. In 0, 1 und den Randpunkten der entfernten Drittelintervalle ist f nicht differenzierbar.

Sie steht in Bezug mit einer besonderen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften

1884 veröffentlicht Cantor sein Werk Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten (VI). Im Paragraph § 19 beschäftigt er sich mit perfekten Teilmengen von ℝ. Hierzu verwendet er die Cantormenge und zeigt, dass jede beschränkte nichtleere perfekte Teilmenge von ℝ, die keine nichttrivialen Intervalle enthält, ähnlich ist zur Cantormenge C.

In der Tat hat die Cantormenge besondere Eigenschaften:

Tenär-Dartstellung

Der internationale Standard sieht das Dezimalsystem als Zahlensystem vor. Dabei wird ein Zahlenwert dargestellt durch Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mit dem Stellenwert als Zehnerpotenz insgesamt addiert wird. Da bei der Cantor-Menge Intervalle iterativ gedrittelt werden, ist es ratsam sich für die nähere Betrachtung der Menge mit dem Stellenwertsystem zur Basis 3 vertraut zu machen, dem Tenär-System. Dieses sieht die Ziffern 0,1,2, und den Stellenwert als Dreierpotenz vor. Das heißt:

DEM: x e [0, 1] x = 0,x₁x₂x₃… = Summe .. x_i 1/10ⁱ * x_i e {0,1,...,9}

TEN: x e [0, 1] x = 0,x₁x₂x₃… = Summe .. x_i 1/3ⁱ * x_i e {0,1,2}

Dazu  x Beispiele

¼

⅓

1/9    11/27= …+

=> NEUEs BILD mit Brüchen?

So wie im Dezimalsystem die Konvention besteht 9 Periode mit 1 gleichzusetzten,gilt dies für Periode 2 im Tenärsystem. Also = 0,2 P = 1  0,02P =0,1 0,002P=0,01 …

Angewand auf die Cantor-Menge bedeutet das, da das mittlere Intervall mit einer 1 als Stellenwert herausgenommen wird, dass die Menge Cn aus Elementen besteht, die innerhalb denr ersten n-Nachkommstellen nur aus den Ziffern 0 und 2 bestehen. Das erleichtert die Zuordnug  

Cantor und Ligeti

Der rumänische Komponist György Ligeti macht in seiner Komposition "L'escalier du diable" (“Die Teufelstreppe”) innerhalb seiner 13. Etüde die Cantor-Funktion musikalisch fühlbar.

Der endliche Aufstieg des Intervalls [0, 1] in überabzählbar unendlich vielen Schritten ist harmonisch selbstähnlich illustriert. Während meistens konstant, aufgrund der herausgenommen Intervall ist die Cantorfunktion, wie schon erwähnt, eigentlich monoton steigend. Deswegen beschleunigt das Tempo der Komposition.

Ihre Struktur ist dreiteilig. Nach dem ersten musikalischen Intervall wird das mittlere Teil des nächsten Intervall verändert und dann nochmals mit einem veränderten Mittlere geteilt.

Also versucht die Komposition eine Darstellung der Unendlichkeit zu geben, was in der Mathematik formal möglich ist.